Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 2

Archi e settori circolari

Attività su «Archi e settori circolari» nel percorso «Circonferenza e cerchio», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Un arco è la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti. Un settore circolare è la parte di cerchio compresa fra due raggi e l’arco che li unisce. L’angolo al centro ha il vertice nel centro del cerchio e per lati quei due raggi: a ogni angolo al centro corrispondono un arco e un settore. Se conosci il raggio e l’angolo al centro, quanto è lungo l’arco e quanto è grande il settore? Si risponde con la proporzionalità.

Arco, settore e angolo al centro

I due raggi formano l’angolo al centro α. L’arco è il pezzo di contorno fra i due raggi (in arancione); il settore è la superficie colorata, chiusa dai due raggi e dall’arco.

Più angolo, più arco e più settore

Se l’angolo al centro è metà dell’angolo giro, l’arco è metà della circonferenza e il settore è metà del cerchio. Con un quarto dell’angolo giro si ottiene un quarto, con un ottavo un ottavo.

angolo al centro	arco	settore
$360 °$	$C$	$A$
$180 °$	$\frac{C}{2}$	$\frac{A}{2}$
$90 °$	$\frac{C}{4}$	$\frac{A}{4}$
$45 °$	$\frac{C}{8}$	$\frac{A}{8}$

Se l’angolo raddoppia, triplica, si dimezza, anche l’arco e il settore raddoppiano, triplicano, si dimezzano: la lunghezza dell’arco e l’area del settore sono direttamente proporzionali all’angolo al centro.

Riduzione all’unità: da 360° a 1°, poi ad α

Una circonferenza ha raggio 6 cm. Quanto è lungo l’arco che corrisponde a un angolo al centro di 60°?

Prima la circonferenza intera, che corrisponde a 360°. Con $π \approx 3,14$ :

$C \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 6$

$2 \cdot 3,14 \cdot 6 = 37,68$

Poi l’arco di 1°, che è la 360ª parte della circonferenza, e infine l’arco di 60°, che è 60 volte quello di 1°. L’arco di 1° si lascia scritto come divisione: si arrotonda soltanto alla fine.

Da 360° a 1° si divide per 360; da 1° a 60° si moltiplica per 60.

angolo	arco (cm)
$360 °$	$37,68$
$1 °$	$37,68 : 360$
$60 °$	$37,68 : 360 \cdot 60$

$l \approx 37,68 : 360 \cdot 60$

$37,68 : 360 \cdot 60 = 6,28$

L’arco è lungo circa 6,28 cm.

La proporzione dell’arco

Lo stesso ragionamento si scrive in una riga. L’arco sta alla circonferenza come l’angolo al centro sta all’angolo giro:

$l : C = α : 360 °$ $\frac{l}{C} = \frac{α}{360 °}$

Con i dati dell’esempio:

$l : 37,68 = 60 : 360$ $\frac{l}{37,68} = \frac{60}{360}$

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi), il termine incognito si trova moltiplicando i medi e dividendo per l’altro estremo:

$l = 37,68 \cdot 60 : 360$

$37,68 \cdot 60 : 360 = 6,28$

Stesso risultato della tabella: la proporzione è la riduzione all’unità scritta in una riga.

Il settore: la stessa proporzione con l’area

Nello stesso cerchio di raggio 6 cm, quanto è grande il settore che corrisponde all’angolo al centro di 60°? Chiamiamo $A_{s}$ la sua area.

Il settore sta al cerchio come l’angolo al centro sta all’angolo giro. Prima l’area del cerchio, con $π \approx 3,14$ :

$A \approx 3,14 \cdot 6^{2}$

$3,14 \cdot 36 = 113,04$

$A_{s} : A = α : 360 °$ $\frac{A_{s}}{A} = \frac{α}{360 °}$

$A_{s} : 113,04 = 60 : 360$ $\frac{A_{s}}{113,04} = \frac{60}{360}$

$A_{s} = 113,04 \cdot 60 : 360$

$113,04 \cdot 60 : 360 = 18,84$

Il settore misura circa 18,84 cm². Con la riduzione all’unità si ottiene lo stesso: $113,04 : 360 \cdot 60 = 18,84$ .

Valore esatto con π

Se π resta scritto come simbolo, il risultato è esatto; con 3,14 è approssimato. Gli stessi due calcoli, lasciando π:

$C = 2 \cdot π \cdot 6 = 12 π$

$l = 12 π \cdot 60 : 360$

$12 π \cdot 60 : 360 = 2 π$

$A = π \cdot 6^{2} = 36 π$

$A_{s} = 36 π \cdot 60 : 360$

$36 π \cdot 60 : 360 = 6 π$

L’arco è lungo 2π cm, circa 6,28 cm; il settore misura 6π cm², circa 18,84 cm². Si vede anche perché: $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ , quindi l’arco è un sesto di 12π e il settore un sesto di 36π.

Dall’arco all’angolo

Nella stessa circonferenza di raggio 6 cm un arco è lungo 4π cm, circa 12,56 cm. Quanto è ampio l’angolo al centro corrispondente?

La proporzione è la stessa: cambia solo il posto dell’incognita. Con i valori approssimati:

$12,56 : 37,68 = α : 360$ $\frac{12,56}{37,68} = \frac{α}{360}$

$α = 12,56 \cdot 360 : 37,68$

$12,56 \cdot 360 : 37,68 = 120$

L’angolo al centro è ampio 120°. Con i valori esatti il conto si fa a mente: 4π è un terzo di 12π, quindi l’angolo è un terzo di 360°.

La scorciatoia: la formula

Dalla proporzione, moltiplicando i medi e dividendo per 360, si ricavano le formule: l’arco è la circonferenza moltiplicata per $\frac{α}{360}$ , la frazione di angolo giro; il settore è l’area del cerchio moltiplicata per la stessa frazione. Sono la proporzione già risolta: usale quando il ragionamento è chiaro.

$l = C \cdot \frac{α}{360}$

$l = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360}$

$A_{s} = A \cdot \frac{α}{360}$

$A_{s} = π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360}$

l: lunghezza dell’arco; C: lunghezza della circonferenza; Aₛ: area del settore; A: area del cerchio; α: ampiezza dell’angolo al centro in gradi; r: raggio

Angoli notevoli, senza proporzione: 90° è un quarto dell’angolo giro, quindi l’arco è un quarto della circonferenza. Con raggio 6 cm la circonferenza è 12π cm e l’arco di 90° è $12 π : 4 = 3 π$ , cioè 3π cm.
Dal settore all’angolo: in un cerchio di raggio 6 cm (area 36π cm²) un settore misura 9π cm². Dalla proporzione $9 π : 36 π = α : 360$ : 9π è un quarto di 36π, quindi α è un quarto di 360°, cioè 90°.
Il contorno del settore è formato da due raggi e dall’arco. Con raggio 6 cm e angolo di 60° il perimetro è $6 + 6 + 2 π = 12 + 2 π$ , cioè (12 + 2π) cm, circa 18,28 cm.
Le unità di misura: l’arco è una lunghezza e si misura come la circonferenza (cm); il settore è una superficie e si misura come il cerchio (cm²); l’angolo al centro si misura in gradi.

L’arco si confronta con la circonferenza, il settore con l’area del cerchio. Mettere l’area nella proporzione dell’arco dà $113,04 \cdot 60 : 360 = 18,84$ : è l’area del settore, non la lunghezza dell’arco. Non dimenticare la divisione per 360: $37,68 \cdot 60 = 2 260,8$ , e un arco di 2 260,8 cm sarebbe più lungo della circonferenza intera. Controlla sempre che l’arco sia minore della circonferenza e il settore minore del cerchio, e con $π \approx 3,14$ arrotonda soltanto alla fine.

La mappa

La sintesi raccoglie le idee principali. Apri la mappa completa per leggere proporzioni, esempi e controlli.

Mappa mentale: Archi e settori circolari

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Simulazioni

Archi e settori circolari: Muovi l’angolo al centro e scopri che arco e settore sono proporzionali: tabella con angoli notevoli, riduzione all’unità, proporzione e valore esatto. Poi gioca a squadre.
Palestra di archi e settori circolari: Da soli, con carta e penna: frazione di giro, lunghezza dell’arco, area del settore e angolo da trovare. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

Domande

In una circonferenza l’angolo al centro passa da 40° a 80°. Che cosa succede all’arco corrispondente?
- A Resta uguale: l’arco dipende solo dal raggio
- B Raddoppia
- C Diventa quattro volte più lungo
- D Aumenta, ma non si può dire di quanto
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Risposta giusta: B. Raddoppia
Arco e angolo al centro sono direttamente proporzionali: se l’angolo raddoppia, anche l’arco raddoppia. Il raggio non cambia, quindi la circonferenza resta la stessa. «Quattro volte» vale per l’area del cerchio quando raddoppia il raggio, non per l’arco quando raddoppia l’angolo.
Un cerchio ha area 40 cm². Quanto misura il settore che corrisponde a un angolo al centro di 45°?
- A 10 cm²
- B 8 cm²
- C 1 800 cm²
- D 5 cm²
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Risposta giusta: D. 5 cm²
$45 : 360 = \frac{1}{8}$ : il settore è un ottavo del cerchio e $40 : 8 = 5$ , quindi 5 cm². 10 cm² è un quarto del cerchio, che corrisponde a 90°. 8 è il numero di settori uguali che riempiono il cerchio, non un’area. 1 800 viene da $40 \cdot 45$ senza dividere per 360, ed è più del cerchio intero.
Quale proporzione permette di calcolare la lunghezza $l$ dell’arco che corrisponde all’angolo al centro $α$ ?
- A $l : A = α : 360 °$ $\frac{l}{A} = \frac{α}{360 °}$
- B $l : C = 360 ° : α$ $\frac{l}{C} = \frac{360 °}{α}$
- C $l : C = α : 360 °$ $\frac{l}{C} = \frac{α}{360 °}$
- D $l : α = 360 ° : C$ $\frac{l}{α} = \frac{360 °}{C}$
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Risposta giusta: C. $l : C = α : 360 °$ $\frac{l}{C} = \frac{α}{360 °}$
L’arco sta alla circonferenza come l’angolo al centro sta all’angolo giro: lunghezze con lunghezze, angoli con angoli. Con $A$ l’arco verrebbe confrontato con un’area. Con $360 ° : α$ l’ordine è invertito e un angolo più grande darebbe un arco più corto. Nell’ultima i termini sono accoppiati male: la forma corretta sarebbe $l : α = C : 360 °$ $\frac{l}{α} = \frac{C}{360 °}$ .
Una circonferenza ha raggio 10 cm. Usando $π \approx 3,14$ , quanto è lungo l’arco che corrisponde a un angolo al centro di 36°?
- A 6,28 cm
- B 3,14 cm
- C 31,4 cm
- D 2 260,8 cm
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Risposta giusta: A. 6,28 cm
$C \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 10$ , cioè circa 62,8 cm, e $36 : 360 = \frac{1}{10}$ : l’arco è $62,8 : 10 = 6,28$ cm. 3,14 usa $π \cdot r$ al posto di $2 \cdot π \cdot r$ . 31,4 è l’area del settore in cm², non una lunghezza. 2 260,8 viene da $62,8 \cdot 36$ senza dividere per 360.
Un cerchio ha raggio 6 cm. Qual è l’area esatta del settore che corrisponde a un angolo al centro di 120°?
- A 12π cm²
- B 4π cm²
- C 48π cm²
- D 4 320π cm²
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Risposta giusta: A. 12π cm²
$A = π \cdot 6^{2} = 36 π$ e $120 : 360 = \frac{1}{3}$ : il settore è $36 π : 3 = 12 π$ , cioè 12π cm². 4π è un terzo della circonferenza 12π cm: è la lunghezza dell’arco. 48π usa il diametro 12 cm come raggio: $π \cdot 12^{2} = 144 π$ , e un terzo è 48π. 4 320π viene da $36 π \cdot 120$ senza dividere per 360.
Un irrigatore ruota di 72° e bagna un settore di prato con raggio 5 m. Usando $π \approx 3,14$ , quanti m² di prato bagna?
- A 6,28 m²
- B 62,8 m²
- C 5 652 m²
- D 15,7 m²
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Risposta giusta: D. 15,7 m²
$A \approx 3,14 \cdot 5^{2}$ , cioè circa 78,5 m², e $72 : 360 = \frac{1}{5}$ : il prato bagnato è $78,5 : 5 = 15,7$ m². 6,28 è un quinto della circonferenza (31,4 m): è la lunghezza dell’arco, non un’area. 62,8 usa il diametro 10 m come raggio. 5 652 viene da $78,5 \cdot 72$ senza dividere per 360: più del cerchio intero.
In una circonferenza di raggio 9 cm un arco è lungo 3π cm. Quanto è ampio l’angolo al centro corrispondente?
- A 120°
- B 60°
- C 30°
- D 540°
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Risposta giusta: B. 60°
$C = 2 \cdot π \cdot 9 = 18 π$ . Dalla proporzione $3 π : 18 π = α : 360$ : 3π è un sesto di 18π, quindi l’angolo è un sesto di 360°, cioè 60°. 120° viene da $π \cdot 9$ , senza il 2. 30° usa il diametro 18 cm come raggio. 540° viene dal dividere per $2 π$ dimenticando il raggio, ed è più di un giro intero.
In un cerchio di raggio 10 cm un settore ha area 25π cm². Quanto è ampio l’angolo al centro corrispondente?
- A 450°
- B 22,5°
- C 90°
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Risposta giusta: C. 90°
$A = π \cdot 10^{2} = 100 π$ . Dalla proporzione $25 π : 100 π = α : 360$ : 25π è un quarto di 100π, quindi l’angolo è un quarto di 360°, cioè 90°. 450° nasce dal confronto con la circonferenza (20π cm) invece che con l’area del cerchio, ed è più di un giro intero. 22,5° usa il diametro 20 cm come raggio: $π \cdot 20^{2} = 400 π$ .

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