Matematica · 3ª media · Lezione 1 di 2

Area del cerchio

Calcolare l’area dal raggio, dal diametro o dalla circonferenza; ricavare il raggio dall’area e distinguere valori esatti e approssimati.

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Teoria in pillole

L’area del cerchio è la misura della superficie racchiusa dalla circonferenza. La indichiamo con A e la esprimiamo in unità quadrate, per esempio cm² o m². Il raggio r è il segmento che unisce il centro a un punto della circonferenza; il diametro d è il doppio del raggio.

Perché compare il quadrato del raggio

Immagina di dividere il cerchio in molti settori uguali e di disporli alternando le punte verso l’alto e verso il basso. La figura si avvicina a un rettangolo: la base si avvicina a metà della circonferenza, cioè $π \cdot r$ , e l’altezza al raggio $r$ . Più i settori sono piccoli, migliore è l’approssimazione.

$A = π \cdot r \cdot r$

$A = π \cdot r^{2}$

A: area del cerchio; r: raggio; π: pi greco, circa 3,14. Il prodotto

r \cdot r

spiega le unità quadrate.

Se conosci il raggio

Una tovaglietta circolare ha raggio 5 cm. Eleva il raggio al quadrato, poi moltiplica per π.

$A = π \cdot 5^{2}$

$A = 25 π$

L’area esatta è 25π cm². Con $π \approx 3,14$ , l’area è circa 78,5 cm². Conservare π indica il valore esatto; sostituirlo con 3,14 dà un’approssimazione.

Se conosci il diametro

Un sottopentola circolare ha diametro 14 cm. Prima trova il raggio.

$r = \frac{d}{2}$

$r = \frac{14}{2} = 7$

Il raggio misura 7 cm. Quindi:

$A = π \cdot 7^{2} = 49 π$

L’area esatta è 49π cm², circa 153,86 cm² usando $π \approx 3,14$ .

Se conosci l’area e cerchi il raggio

Dividi l’area per π per trovare il quadrato del raggio, poi estrai la radice quadrata.

$r^{2} = \frac{A}{π}$

$r = \sqrt{\frac{A}{π}}$

Un disco ha area esatta 81π cm².

$r = \sqrt{\frac{(81 π)}{π}}$

$r = \sqrt{81} = 9$

Il raggio misura 9 cm; il diametro misura 18 cm. Scegli la radice positiva perché il raggio è una lunghezza.

Se conosci la circonferenza

Un’aiuola circolare ha circonferenza esatta 12π m. Per calcolarne l’area ricava prima il raggio.

$C = 2 \cdot π \cdot r$

$r = \frac{C}{(2 \cdot π)}$

$r = \frac{(12 π)}{(2 π)} = 6$

Il raggio misura 6 m. Quindi:

$A = π \cdot 6^{2} = 36 π$

L’area è 36π m², circa 113,04 m² usando $π \approx 3,14$ . La lunghezza del contorno e l’area della superficie sono grandezze diverse.

Una superficie con un foro circolare

Da un cartoncino quadrato di lato 10 cm viene ritagliato un disco di raggio 3 cm. Quanto cartoncino rimane? Calcola le due aree nella stessa unità e sottrai l’area del disco.

$A_{q} = 10^{2} = 100$

Il quadrato ha area 100 cm².

$A_{c} = π \cdot 3^{2} = 9 π$

Il disco ha area 9π cm².

$A = 100 - 9 π$

Rimangono (100 − 9π) cm², circa 71,74 cm² usando $π \approx 3,14$ . Il risultato è positivo e minore dell’area del quadrato: un controllo coerente con il ritaglio.

Controlla le unità: usa la stessa unità per tutte le lunghezze. Un raggio di 2 dm corrisponde a 20 cm: l’area esatta si può scrivere 4π dm² oppure 400π cm². Un dm² equivale a 100 cm².
Controlla come varia l’area: se il raggio raddoppia, l’area diventa quattro volte quella iniziale. Con raggio 3 cm l’area è 9π cm²; con raggio 6 cm è 36π cm².
Nelle figure composte calcola prima le aree delle parti e poi somma o sottrai secondo la superficie richiesta. Settori e corona circolare saranno trattati nelle lezioni successive.

Non usare il diametro al posto del raggio e non dimenticare il quadrato. Con diametro 10 cm il raggio è 5 cm e l’area è 25π cm²: usare 10 nella formula darebbe 100π cm², quattro volte il valore corretto. Nella formula inversa non basta dividere per π: devi anche estrarre la radice quadrata. Se usi π ≈ 3,14, scrivi «circa» e arrotonda soltanto alla fine.

La mappa

La sintesi raccoglie le formule principali. Apri la mappa completa per leggere spiegazioni, esempi e controlli.

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Domande

Un cerchio ha raggio 4 cm. Qual è la sua area esatta?
- A 8π cm²
- B 16π cm²
- C 4π cm²
- D 64π cm²
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Risposta giusta: B. 16π cm²
$A = π \cdot 4^{2} = 16 π$ : l’area è 16π cm². 8π è il valore della circonferenza in cm; 4π dimentica il quadrato; 64π usa il diametro 8 cm al posto del raggio.
Un cerchio ha diametro 18 cm. Quanto vale l’area esatta?
- A 324π cm²
- B 18π cm²
- C 36π cm²
- D 81π cm²
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Risposta giusta: D. 81π cm²
$r = \frac{18}{2} = 9$ cm e $A = π \cdot 9^{2} = 81 π$ cm². 324π usa il diametro come raggio; 18π e 36π applicano formule di lunghezza.
Un cerchio ha area esatta 64π cm². Quanto misura il raggio?
- A 8 cm
- B 64 cm
- C 32 cm
- D 16 cm
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Risposta giusta: A. 8 cm
$r = \sqrt{\frac{(64 π)}{π}} = \sqrt{64} = 8$ cm. 64 dimentica la radice; 32 divide 64 per due; 16 è il diametro.
Un cerchio ha raggio 3 cm. Usando π ≈ 3,14, qual è l’area approssimata?
- A 9,42 cm²
- B 18,84 cm²
- C 28,26 cm²
- D 9 cm²
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Risposta giusta: C. 28,26 cm²
$A \approx 3,14 \cdot 9 = 28,26$ cm². 9,42 dimentica il quadrato; 18,84 calcola la circonferenza; 9 omette il fattore π.
Il raggio di un cerchio passa da 2 cm a 4 cm. Come cambia l’area?
- A Raddoppia
- B Diventa quattro volte quella iniziale
- C Rimane uguale
- D Diventa otto volte quella iniziale
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Risposta giusta: B. Diventa quattro volte quella iniziale
Le aree sono 4π cm² e 16π cm². Il rapporto è $\frac{16}{4} = 4$ : raddoppiare il raggio moltiplica l’area per $2^{2} = 4$ .
Un cerchio ha circonferenza esatta 10π m. Qual è la sua area esatta?
- A 25π m²
- B 100π m²
- C 10π m²
- D 20π m²
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Risposta giusta: A. 25π m²
$r = \frac{(10 π)}{(2 π)} = 5$ m. Poi $A = π \cdot 5^{2} = 25 π$ m². 100π usa il diametro 10 m come raggio; 10π ripete il numero del contorno; 20π lo raddoppia.
Un cerchio ha raggio 7 mm. Come si scrive la sua area esatta?
- A 49 mm²
- B 49π mm
- C 14π mm²
- D 49π mm²
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Risposta giusta: D. 49π mm²
$A = π \cdot 7^{2} = 49 π$ mm². Servono sia π sia l’unità quadrata. 49 omette π; mm è un’unità di lunghezza; 14π deriva dalla formula della circonferenza.
Da una lastra quadrata di lato 12 cm viene ritagliato un disco di raggio 4 cm. Quale espressione dà l’area rimasta?
- A (144 + 16π) cm²
- B (144 − 8π) cm²
- C (144 − 16π) cm²
- D (12 − 4π) cm²
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Risposta giusta: C. (144 − 16π) cm²
Il quadrato ha area $12^{2} = 144$ cm² e il disco $π \cdot 4^{2} = 16 π$ cm². La superficie rimasta è la differenza: $144 - 16 π$ cm². Sommare aggiungerebbe il disco; 8π confonde area e circonferenza; 12 e 4π dimenticano i quadrati.

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