Matematica · 3ª media · Lezione 3 di 3

La corona e il segmento circolare

Come si calcolano l’area della corona circolare e l’area e il perimetro del segmento circolare, combinando cerchio, settore e triangolo.

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Teoria in pillole

La corona circolare è la parte di piano compresa fra due circonferenze con lo stesso centro (concentriche). Il segmento circolare è la parte di cerchio compresa fra una corda e un arco. Nessuna delle due figure ha una formula nuova da imparare: come si calcola la loro area? Si combinano aree che conosci già, quella del cerchio, quella del settore e quella del triangolo.

Corona circolare: la figura

Le due circonferenze hanno lo stesso centro O. Il raggio maggiore si indica con $R$ , il raggio minore con $r$ .

Corona circolare: l’area

Dal cerchio maggiore si toglie il cerchio minore: l’area della corona è la differenza fra le due aree.

$A = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2}$

area del cerchio maggiore meno area del cerchio minore

Il procedimento vale anche se le due circonferenze non sono concentriche, purché una sia interna all’altra.

Segmento circolare: la figura

Una corda AB divide il cerchio in due segmenti circolari. A ciascuno corrisponde un settore con lo stesso arco, e quindi un angolo al centro AOB.

Segmento minore di un semicerchio

Se l’angolo al centro è minore di $180 °$ , dal settore si toglie il triangolo AOB.

segmento = settore − triangolo

Segmento maggiore di un semicerchio

Se l’angolo al centro è maggiore di $180 °$ , al settore si aggiunge il triangolo AOB.

segmento = settore + triangolo

Se l’angolo al centro è di $180 °$ , la corda è un diametro e il segmento è un semicerchio: il triangolo non c’è.

L’area del triangolo AOB

OA e OB sono raggi, quindi il triangolo è sempre isoscele. Nei due casi che calcoliamo:

angolo di $90 °$ (o settore di $270 °$ ): il triangolo è rettangolo e i raggi sono i cateti, quindi $A = \frac{(r \cdot r)}{2}$ ;
angolo di $60 °$ (o settore di $300 °$ ): il triangolo è equilatero di lato $r$ , quindi $A = \frac{(p \cdot a)}{2}$ , con perimetro $p = 3 \cdot r$ e apotema $a = r \cdot 0,289$ .

Esempio: il vialetto intorno all’aiuola

Un’aiuola circolare ha il raggio di 5 m ed è circondata da un vialetto largo 2 m. Qual è l’area del vialetto?

Il vialetto è una corona circolare. Il raggio minore è $r = 5$ m; il raggio maggiore è la somma del raggio e della larghezza, $R = 5 + 2 = 7$ m.

$A = π \cdot 7^{2} - π \cdot 5^{2}$

$A = 49 π - 25 π = 24 π$

L’area è $24 π$ m², cioè circa $75,36$ m² con $π \approx 3,14$ .

Esempio: segmento con angolo di

90 °

In un cerchio di raggio 6 cm, calcola l’area del segmento circolare che corrisponde a un angolo al centro di $90 °$ .

Settore:

$3,14 \cdot 6^{2} \cdot 90 : 360 = 28,26$

Triangolo:

$\frac{(6 \cdot 6)}{2} = 18$

Segmento:

$28,26 - 18 = 10,26$

L’area del segmento è circa $10,26$ cm².

Esempio: segmento con angolo di

60 °

In un cerchio di raggio 12 cm, calcola l’area del segmento circolare che corrisponde a un angolo al centro di $60 °$ . Il triangolo AOB è equilatero: ha due lati uguali, i raggi, e un angolo di $60 °$ fra loro.

Settore:

$3,14 \cdot 12^{2} \cdot 60 : 360 = 75,36$

Apotema:

$12 \cdot 0,289 = 3,468$

Triangolo:

$\frac{(36 \cdot 3,468)}{2} = 62,424$

Segmento:

$75,36 - 62,424 = 12,936$

L’area del segmento è circa $12,94$ cm².

Esempio: segmento maggiore

Nello stesso cerchio di raggio 6 cm, calcola l’area del segmento che corrisponde all’angolo al centro di $270 °$ .

Settore:

$3,14 \cdot 6^{2} \cdot 270 : 360 = 84,78$

Segmento:

$84,78 + 18 = 102,78$

L’area è circa $102,78$ cm². Controllo: i due segmenti formano il cerchio intero, e $102,78 + 10,26 = 113,04$ , che è proprio $3,14 \cdot 6^{2}$ .

Il perimetro del segmento

Il contorno del segmento è formato dall’arco e dalla corda, quindi il perimetro è la loro somma.

Angolo di $60 °$ , raggio 12 cm: la corda è lato del triangolo equilatero e misura 12 cm; l’arco è $2 \cdot 3,14 \cdot 12 \cdot 60 : 360 = 12,56$ cm. Il perimetro è circa $24,56$ cm.
Angolo di $90 °$ , raggio 6 cm: la corda è l’ipotenusa del triangolo rettangolo e con il teorema di Pitagora misura circa $8,49$ cm; l’arco è $2 \cdot 3,14 \cdot 6 \cdot 90 : 360 = 9,42$ cm. Il perimetro è circa $17,91$ cm.

L’area della corona non si calcola con $π \cdot {(R - r)}^{2}$ : con $R = 7$ e $r = 5$ darebbe $4 π$ , invece di $24 π$ . Prima si elevano al quadrato i raggi, poi si sottrae. Nei problemi leggi bene i dati: una larghezza non è un raggio, e un diametro va dimezzato. Nel segmento controlla l’angolo prima di scegliere il segno: sotto $180 °$ il triangolo si toglie, sopra $180 °$ si aggiunge.

La mappa

La sintesi raccoglie le idee principali. Apri la mappa completa per leggere formule, casi e controlli.

Mappa mentale: La corona e il segmento circolare

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Simulazioni

Corona e segmento circolare: Muovi i raggi e l’angolo al centro e segui i passaggi uno alla volta: area della corona, segmento minore e segmento maggiore. Poi gioca a squadre.

Domande

Che cos’è un segmento circolare?
- A La parte di cerchio compresa fra due raggi e un arco
- B La parte di cerchio compresa fra una corda e un arco
- C La parte di piano compresa fra due circonferenze concentriche
- D Il segmento che unisce due punti della circonferenza
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Risposta giusta: B. La parte di cerchio compresa fra una corda e un arco
Il segmento circolare è delimitato da una corda e da un arco. Fra due raggi e un arco c’è il settore, fra due circonferenze concentriche la corona; il segmento che unisce due punti della circonferenza è la corda.
Due circonferenze concentriche hanno i raggi di 10 cm e 6 cm. Qual è l’area della corona circolare?
- A $16 π$ cm²
- B $136 π$ cm²
- C $64 π$ cm²
- D $4 π$ cm²
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Risposta giusta: C. $64 π$ cm²
$A = π \cdot 10^{2} - π \cdot 6^{2}$ , cioè $100 π - 36 π = 64 π$ cm². La risposta $16 π$ viene da $π \cdot {(10 - 6)}^{2}$ , $136 π$ dalla somma delle due aree invece che dalla differenza.
Marco calcola l’area di una corona con $π \cdot {(R - r)}^{2}$ . Che cosa sbaglia?
- A Niente: è la formula corretta
- B Dovrebbe usare i diametri al posto dei raggi
- C Dovrebbe moltiplicare per 2
- D Dovrebbe elevare al quadrato ciascun raggio e poi sottrarre
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Risposta giusta: D. Dovrebbe elevare al quadrato ciascun raggio e poi sottrarre
La corona è la differenza di due cerchi: $π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2}$ . La formula di Marco calcola invece l’area di un cerchio che ha per raggio la differenza dei raggi, e dà un risultato troppo piccolo.
Le due circonferenze di una corona hanno i diametri di 26 cm e 10 cm. Qual è l’area della corona?
- A $144 π$ cm²
- B $576 π$ cm²
- C $256 π$ cm²
- D $64 π$ cm²
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Risposta giusta: A. $144 π$ cm²
I raggi sono la metà dei diametri: $R = 13$ cm e $r = 5$ cm. Allora $A = 169 π - 25 π = 144 π$ cm². La risposta $576 π$ viene dall’uso dei diametri come se fossero raggi.
Una fontana circolare ha il raggio di 4 m ed è circondata da un bordo largo 1 m. Qual è, circa, l’area del bordo con $π \approx 3,14$ ?
- A $3,14$ m²
- B $28,26$ m²
- C $47,1$ m²
- D $78,5$ m²
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Risposta giusta: B. $28,26$ m²
Il raggio maggiore è $R = 4 + 1 = 5$ m, quindi $A = 3,14 \cdot (25 - 16) = 28,26$ m². La risposta $78,5$ è l’area del cerchio intero: il cerchio della fontana non è stato tolto.
In un cerchio di raggio 4 cm, l’angolo al centro di un segmento circolare è di $90 °$ . Qual è, circa, l’area del segmento con $π \approx 3,14$ ?
- A $20,56$ cm²
- B $12,56$ cm²
- C $8$ cm²
- D $4,56$ cm²
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Risposta giusta: D. $4,56$ cm²
Settore: $3,14 \cdot 16 \cdot 90 : 360 = 12,56$ cm². Triangolo rettangolo: $\frac{(4 \cdot 4)}{2} = 8$ cm². Segmento: $12,56 - 8 = 4,56$ cm². Sotto $180 °$ il triangolo si toglie: $20,56$ è il risultato con la somma.
In un cerchio di raggio 10 cm, il segmento minore con angolo al centro di $90 °$ misura circa $28,5$ cm². Quanto misura il segmento maggiore della stessa corda, con $π \approx 3,14$ ?
- A $285,5$ cm²
- B $235,5$ cm²
- C $342,5$ cm²
- D $50$ cm²
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Risposta giusta: A. $285,5$ cm²
I due segmenti formano il cerchio intero, di area $3,14 \cdot 100 = 314$ cm²: $314 - 28,5 = 285,5$ cm². Con il settore si ottiene lo stesso: $235,5 + 50 = 285,5$ cm². La risposta $235,5$ è il solo settore.
In un cerchio di raggio 10 cm, qual è, circa, il perimetro del segmento circolare con angolo al centro di $60 °$ , con $π \approx 3,14$ ?
- A $10,47$ cm
- B $30$ cm
- C $20,47$ cm
- D $62,8$ cm
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Risposta giusta: C. $20,47$ cm
Il triangolo è equilatero, quindi la corda misura 10 cm. L’arco è $2 \cdot 3,14 \cdot 10 \cdot 60 : 360$ , circa $10,47$ cm. Il perimetro è la somma di arco e corda, circa $20,47$ cm; $10,47$ è il solo arco e $62,8$ è la circonferenza intera.

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