Matematica · 2ª media · Lezione 1 di 13

Pavimentazioni

Attività su «Pavimentazioni» nel percorso «Le aree», per la 2ª media.

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Teoria in pillole

Una pavimentazione (o tassellazione) ricopre una superficie ripetendo la stessa figura, o poche figure, senza vuoti e senza sovrapposizioni. Il punto da cui si parte per capire se ci riesce è il vertice: il punto dove più figure si toccano.

$n \cdot α = 360 °$

attorno a un vertice gli angoli delle figure che si incontrano devono formare un angolo giro;

n

è il numero di angoli e

α

la loro ampiezza, se sono tutti uguali

Fra i poligoni regolari pavimentano da soli il triangolo equilatero ( $6 \cdot 60 ° = 360 °$ ), il quadrato ( $4 \cdot 90 ° = 360 °$ ) e l'esagono ( $3 \cdot 120 ° = 360 °$ ).
Il pentagono regolare no: il suo angolo interno misura $108 °$ , e $3 \cdot 108 ° = 324 °$ . Al vertice resta un buco di $36 °$ , e un quarto pentagono non ci entra: si sovrapporrebbe ai primi tre.
Figure diverse insieme possono farcela: due ottagoni regolari e un quadrato chiudono il vertice, $135 ° + 135 ° + 90 ° = 360 °$ .
Dove la pavimentazione riesce, contare le piastrelle è già misurare l'area: per questo l'unità di misura delle superfici è un quadrato.

Non basta che le piastrelle siano tutte uguali fra loro: la somma degli angoli al vertice deve fare $360 °$ , altrimenti restano vuoti (somma minore) o sovrapposizioni (somma maggiore). Attenzione però: questa condizione serve, ma da sola non basta. Perché la pavimentazione continui su tutta la superficie, anche i lati delle figure devono combaciare, ogni volta che il disegno si ripete.

La mappa

Le parti della lezione in un colpo d'occhio. Il link apre la mappa completa, con i rami.

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Domande

Quando diciamo che una figura «pavimenta»?
- A Quando ha tutti i lati della stessa lunghezza
- B Quando si può disegnare senza staccare la matita dal foglio
- C Quando le sue copie ricoprono la superficie senza vuoti e senza sovrapposizioni
- D Quando due sue copie si possono accostare almeno in un punto
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Risposta giusta: C. Quando le sue copie ricoprono la superficie senza vuoti e senza sovrapposizioni
Pavimentare vuol dire ricoprire tutto: niente spazi scoperti e niente pezzi accavallati. Avere i lati uguali non basta e non serve: il pentagono regolare ha tutti i lati uguali e non pavimenta, mentre un rettangolo qualsiasi ce la fa. Accostare due copie riesce quasi sempre: il problema nasce quando si chiude il giro attorno a un punto.
Attorno a un vertice della pavimentazione, quanto deve valere la somma degli angoli delle piastrelle che si incontrano lì?
- A $360 °$
- B $180 °$
- C $90 °$
- D Dipende da quanti lati ha la piastrella
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Risposta giusta: A. $360 °$
Attorno a un punto c'è un angolo giro, cioè $360 °$ . Se la somma è minore resta un buco scoperto; se è maggiore le piastrelle si accavallano. $180 °$ è l'angolo piatto e chiuderebbe solo mezzo giro. Il numero dei lati cambia quanto vale ogni angolo, non il traguardo da raggiungere: quello è sempre $360 °$ .
Il triangolo equilatero ha angoli di $60 °$ . Quanti triangoli equilateri si incontrano in un vertice della pavimentazione?
- A Tre
- B Quattro
- C Cinque
- D Sei
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Risposta giusta: D. Sei
Servono $360 ° : 60 ° = 6$ triangoli. Con tre si arriva a $180 °$ , cioè a metà giro: resta scoperta tutta l'altra metà. Il conto da fare è sempre questo (l'angolo giro diviso l'angolo della figura) e deve dare un numero intero.
Quanto misura ogni angolo di un pentagono regolare?
- A $72 °$
- B $108 °$
- C $120 °$
- D $90 °$
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Risposta giusta: B. $108 °$
Gli angoli di un pentagono valgono in tutto $540 °$ , quindi ognuno misura $540 ° : 5 = 108 °$ . $72 °$ è $360 ° : 5$ : è l'angolo che si vede al centro della figura, non quello ai vertici, ed è lo scambio più frequente. $120 °$ è l'angolo dell'esagono e $90 °$ quello del quadrato.
Mettiamo tre pentagoni regolari attorno a uno stesso punto. Che cosa succede?
- A Resta scoperto un angolo di $36 °$
- B Il vertice si chiude esattamente
- C I tre pentagoni si sovrappongono fra loro
- D Resta scoperto un angolo di $72 °$
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Risposta giusta: A. Resta scoperto un angolo di $36 °$
Tre pentagoni danno $3 \cdot 108 ° = 324 °$ , e al giro completo mancano $360 ° - 324 ° = 36 °$ . Il quarto pentagono non entra in quel buco: gliene servirebbero $108 °$ , quindi si accavalla sul primo. Né tre né quattro: per questo il pentagono regolare non pavimenta. Chi risponde $72 °$ ha usato l'angolo al centro al posto dell'angolo del vertice.
Una ditta produce piastrelle a forma di pentagono regolare, tutte perfettamente identiche fra loro. Si può pavimentare una stanza con quelle piastrelle?
- A Sì, perché le piastrelle sono tutte uguali
- B Sì, purché siano abbastanza piccole
- C No, perché i loro angoli non chiudono il vertice
- D No, perché i pentagoni regolari non hanno i lati uguali
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Risposta giusta: C. No, perché i loro angoli non chiudono il vertice
Avere piastrelle tutte uguali non basta: quello che decide è l'angolo. Nemmeno la misura c'entra: rimpicciolire una figura non cambia i suoi angoli, quindi il buco resta identico. E il pentagono regolare i lati uguali ce li ha: è proprio la figura che li ha tutti uguali e non pavimenta lo stesso.
L'ottagono regolare ha angoli di $135 °$ e da solo non pavimenta. Quale figura si può affiancare a due ottagoni per chiudere il vertice?
- A Un triangolo equilatero
- B Un quadrato
- C Un esagono regolare
- D Un terzo ottagono
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Risposta giusta: B. Un quadrato
Due ottagoni fanno $2 \cdot 135 ° = 270 °$ e al giro mancano $360 ° - 270 ° = 90 °$ : esattamente l'angolo del quadrato. È il pavimento a ottagoni e quadratini di tante case vecchie. Il triangolo porterebbe solo $60 °$ e l'esagono $120 °$ , che è troppo; un terzo ottagono ne porterebbe $135 °$ , e sborderebbe.
Un pavimento è ricoperto da $4$ righe di $3$ piastrelle quadrate, ognuna di $1$ m di lato. Che cosa possiamo dire?
- A L'area è $7 m^{2}$ , perché $4 + 3 = 7$
- B L'area è $12 m$ , perché le piastrelle sono dodici
- C Non si può sapere l'area senza conoscere il perimetro
- D L'area è $12 m^{2}$ , perché ci sono $4 \cdot 3 = 12$ piastrelle da $1 m^{2}$ ciascuna
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Risposta giusta: D. L'area è $12 m^{2}$ , perché ci sono $4 \cdot 3 = 12$ piastrelle da $1 m^{2}$ ciascuna
Dove la pavimentazione riesce, contare le piastrelle è già misurare l'area: dodici quadrati da $1 m^{2}$ fanno $12 m^{2}$ . Sommare base e altezza dà un pezzo di contorno, non una superficie. E un'area non si misura in metri ma in metri quadrati: l'unità è un quadrato proprio perché il quadrato è la figura che si conta a righe e colonne.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.

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