Le aree · 2ª media · Officina Didattica

Di che cosa parla il capitolo

L'area dice quanto è estesa una superficie: quante volte l'unità di misura scelta ci sta dentro.

$A = b \cdot h$

dal rettangolo, per scomposizione, si ricavano le formule dei poligoni del capitolo; il cerchio fa eccezione, con il numero

π

Si parte dal ricoprire una superficie con piastrelle uguali: da lì nascono le unità quadrate e la tabella delle equivalenze.
Poi il rettangolo: parallelogramma, triangolo, trapezio e quadrilateri con le diagonali perpendicolari si ottengono trasformandolo o dimezzandolo.
Infine il cerchio, che non si ottiene scomponendo un rettangolo e introduce il numero $π$ .

Alla fine del capitolo sai che due figure con la stessa area possono avere forme diverse: si dicono equivalenti, non congruenti. E che uno stesso perimetro non decide l'area.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.

Quiz di fine capitolo

Quale figura sta dietro a tutte le formule delle aree dei poligoni?
- A Il cerchio, perché la sua area si calcola con π
- B Il rettangolo, perché ogni poligono si può trasformare in un rettangolo equivalente
- C Il trapezio, perché la sua formula comprende quella degli altri quadrilateri
- D Il quadrato, perché ogni poligono si può dividere in quadrati interi
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Risposta giusta: B. Il rettangolo, perché ogni poligono si può trasformare in un rettangolo equivalente
Base per altezza è il modello di partenza: il parallelogramma diventa un rettangolo spostando un triangolo, il triangolo è metà di un parallelogramma, il trapezio è metà di un parallelogramma di base $B + b$ . Il quadrato serve come unità per contare le aree, ma non tutti i poligoni si lasciano dividere in quadrati interi.
Quali figure richiedono una divisione per 2 nella formula dell'area?
- A Rettangolo e parallelogramma
- B Solo il triangolo
- C Tutte le figure piane
- D Triangolo, trapezio e quadrilateri con diagonali perpendicolari
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Risposta giusta: D. Triangolo, trapezio e quadrilateri con diagonali perpendicolari
In tutti e tre i casi la figura occupa metà di un'altra più semplice: metà parallelogramma per il triangolo, metà parallelogramma di base $B + b$ per il trapezio, metà del rettangolo costruito sulle diagonali per rombo e aquilone. Rettangolo e parallelogramma usano invece direttamente $b \cdot h$ .
Un parallelogramma ha base $9 cm$ e altezza $4 cm$ ; un triangolo ha la stessa base e la stessa altezza. Che rapporto c'è fra le due aree?
- A Hanno la stessa area: $36 {cm}^{2}$ ciascuno
- B Il triangolo ha un terzo dell'area: $12 {cm}^{2}$
- C Il triangolo ha area doppia: $72 {cm}^{2}$
- D Il triangolo ha metà area: $18 {cm}^{2}$ contro $36 {cm}^{2}$
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Risposta giusta: D. Il triangolo ha metà area: $18 {cm}^{2}$ contro $36 {cm}^{2}$
$9 \cdot 4 = 36 {cm}^{2}$ per il parallelogramma; il triangolo, che ne occupa la metà, ha $36 : 2 = 18 {cm}^{2}$ . Il fattore è sempre la metà, qualunque siano base e altezza: non dipende dai numeri scelti.
Che cosa vuol dire che due figure sono equivalenti?
- A Che hanno la stessa area, anche se hanno forma diversa
- B Che sono sovrapponibili punto per punto
- C Che hanno lo stesso perimetro
- D Che hanno gli stessi angoli
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Risposta giusta: A. Che hanno la stessa area, anche se hanno forma diversa
L'equivalenza riguarda solo l'estensione: un quadrato di lato $6 cm$ e un rettangolo di $9 cm$ per $4 cm$ hanno entrambi $36 {cm}^{2}$ e sono equivalenti pur essendo diversi. Le figure sovrapponibili si dicono invece congruenti, e il perimetro non c'entra.
Quanti ${cm}^{2}$ sono $2 m^{2}$ ?
- A $200 {cm}^{2}$
- B $2000 {cm}^{2}$
- C $20 000 {cm}^{2}$
- D $200 000 {cm}^{2}$
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Risposta giusta: C. $20 000 {cm}^{2}$
Fra $m^{2}$ e ${cm}^{2}$ ci sono due gradini, ognuno da $100$ : $2 \cdot 100 \cdot 100 = 20 000 {cm}^{2}$ . Un gradino solo darebbe $200 {cm}^{2}$ , e usare il fattore $10$ delle lunghezze porta fuori strada.
In tutte le formule delle aree, l'altezza è…
- A il lato più corto della figura
- B il segmento perpendicolare alla base scelta
- C il lato obliquo che parte dalla base
- D sempre la metà della base
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Risposta giusta: B. il segmento perpendicolare alla base scelta
L'altezza si misura ad angolo retto rispetto alla base: usare al suo posto un lato obliquo, che è più lungo, fa risultare l'area più grande del vero. È l'errore che ritorna nel triangolo, nel parallelogramma e nel trapezio.
Un trapezio ha basi $14 cm$ e $6 cm$ e altezza $5 cm$ . Qual è la sua area?
- A $100 {cm}^{2}$
- B $70 {cm}^{2}$
- C $50 {cm}^{2}$
- D $25 {cm}^{2}$
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Risposta giusta: C. $50 {cm}^{2}$
$(14 + 6) \cdot 5 : 2 = 50 {cm}^{2}$ . $100 {cm}^{2}$ dimentica la divisione per 2, $70 {cm}^{2}$ usa solo la base maggiore, $25 {cm}^{2}$ divide due volte.
Due recinti hanno lo stesso perimetro. Si può concludere che racchiudono la stessa area?
- A No: stesso perimetro non significa stessa area
- B Sì, sempre
- C Sì, se sono entrambi rettangoli
- D Sì, se sono entrambi poligoni regolari
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Risposta giusta: A. No: stesso perimetro non significa stessa area
Con $20 m$ di rete l'area può essere quasi nulla, se il rettangolo è lunghissimo e strettissimo, e arriva al massimo di $25 m^{2}$ col quadrato: il perimetro fissa la somma dei lati, non il loro prodotto. Non basta nemmeno restare fra rettangoli, né fra poligoni regolari: a parità di perimetro un triangolo equilatero racchiude meno di un quadrato, che a sua volta racchiude meno di un esagono.