Stesso perimetro, aree diverse

• Guarda la videolezione: un solo concetto alla volta, con i sottotitoli

Le parti della lezione in un colpo d'occhio. Il link apre la mappa completa, con i rami.

Apri la mappa in grande

• GeoLab · Aree: Costruisci le figure trascinando i vertici sulla griglia e rispondi alle domande: la difficoltà si adatta a come vai. Qui si parte da area e perimetro.

1. Con $20\mathrm{m}$ di rete si recinta un rettangolo. Che cosa fissa il perimetro?

   • A Il prodotto di base e altezza
   • B L'area del recinto
   • C La somma di base e altezza, che vale $10\mathrm{m}$
   • D La lunghezza della base
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. La somma di base e altezza, che vale $10\mathrm{m}$

   Il perimetro di un rettangolo è $2·\left(b+h\right)$, quindi $P=20\mathrm{m}$ dice che $b+h=10\mathrm{m}$. La somma è fissata, il prodotto no: ed è il prodotto a dare l'area, che infatti resta libera di cambiare.

2. Fra tutti i rettangoli di perimetro $20\mathrm{m}$, quale racchiude l'area maggiore?

   • A Il rettangolo di $9\mathrm{m}$ per $1\mathrm{m}$
   • B Il rettangolo di $8\mathrm{m}$ per $2\mathrm{m}$
   • C Hanno tutti la stessa area
   • D Il quadrato di lato $5\mathrm{m}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. Il quadrato di lato $5\mathrm{m}$

   Con la somma dei lati fissata a $10\mathrm{m}$, il prodotto è massimo quando i due lati sono uguali: $5·5=25{\mathrm{m}}^2$, contro i $16{\mathrm{m}}^2$ di $8·2$ e i $9{\mathrm{m}}^2$ di $9·1$. Più la figura è allungata, meno spazio racchiude.

3. Un recinto rettangolare ha perimetro $20\mathrm{m}$ e base $7\mathrm{m}$. Qual è la sua area?

   • A $140{\mathrm{m}}^2$
   • B $70{\mathrm{m}}^2$
   • C $21{\mathrm{m}}^2$
   • D $13{\mathrm{m}}^2$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. $21{\mathrm{m}}^2$

   Da $b+h=10\mathrm{m}$ si ricava $h=3\mathrm{m}$, quindi $A=7·3=21{\mathrm{m}}^2$. $70{\mathrm{m}}^2$ nasce dal moltiplicare la base per il semiperimetro, $140{\mathrm{m}}^2$ per il perimetro intero, $13{\mathrm{m}}^2$ dal sommare i due lati invece di moltiplicarli.

4. Due rettangoli hanno lo stesso perimetro. Che cosa si può dire delle loro aree?

   • A Possono essere molto diverse
   • B Sono sempre uguali
   • C Sono sempre diverse
   • D Stanno fra loro come le rispettive basi
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: A. Possono essere molto diverse

   Stesso perimetro non dice niente sull'area: con $20\mathrm{m}$ di rete si va da quasi zero fino a un massimo di $25{\mathrm{m}}^2$, il quadrato. Non sono nemmeno sempre diverse, perché due rettangoli uguali hanno ovviamente la stessa area: il punto è che il perimetro da solo non permette di decidere.

5. Un quadrato di lato $6\mathrm{cm}$ e un rettangolo di $9\mathrm{cm}$ per $3\mathrm{cm}$: che cosa hanno in comune?

   • A La stessa area, ma perimetri diversi
   • B Perimetro e area uguali
   • C Niente: perimetri e aree sono tutti diversi
   • D Lo stesso perimetro, $24\mathrm{cm}$, ma aree diverse: $36{\mathrm{cm}}^2$ e $27{\mathrm{cm}}^2$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. Lo stesso perimetro, $24\mathrm{cm}$, ma aree diverse: $36{\mathrm{cm}}^2$ e $27{\mathrm{cm}}^2$

   Entrambi hanno perimetro $24\mathrm{cm}$, perché in entrambi la somma di due lati consecutivi vale $12\mathrm{cm}$. Le aree però sono $6·6=36{\mathrm{cm}}^2$ e $9·3=27{\mathrm{cm}}^2$: il quadrato racchiude di più, come sempre a parità di perimetro.

6. Un agricoltore vuole il recinto più spazioso possibile con la rete che ha già. Che cosa gli conviene fare?

   • A Dare al recinto una forma il più possibile vicina al quadrato
   • B Fare un rettangolo lungo e stretto
   • C Comprare altra rete: la forma non cambia nulla
   • D Fare la base doppia dell'altezza
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: A. Dare al recinto una forma il più possibile vicina al quadrato

   A parità di rete, cioè di perimetro, l'area cresce man mano che i lati si avvicinano fra loro ed è massima nel quadrato. La forma conta eccome: allungare il recinto lo rende più povero di spazio senza far risparmiare un metro di rete.

7. Prendiamo un rettangolo di cartoncino con i lati incernierati agli angoli e lo incliniamo fino a schiacciarlo. Che cosa succede?

   • A Diminuiscono sia il perimetro sia l'area
   • B Il perimetro resta lo stesso e l'area diminuisce fino quasi a zero
   • C Il perimetro diminuisce e l'area resta la stessa
   • D Non cambia niente, perché i lati sono sempre quelli
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. Il perimetro resta lo stesso e l'area diminuisce fino quasi a zero

   I quattro lati non cambiano lunghezza, quindi il perimetro resta identico; ma l'altezza si abbassa e con essa l'area, che tende a zero quando la figura è quasi appiattita. È la prova più netta che le due grandezze sono indipendenti.

8. Sapendo soltanto che un recinto rettangolare ha perimetro $20\mathrm{m}$, si può dire quanto spazio racchiude?

   • A Sì: l'area è sempre $25{\mathrm{m}}^2$
   • B No: l'area può andare da quasi zero fino a $25{\mathrm{m}}^2$
   • C Sì: l'area è sempre $100{\mathrm{m}}^2$
   • D Sì: basta dividere il perimetro per 4
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. No: l'area può andare da quasi zero fino a $25{\mathrm{m}}^2$

   Il perimetro fissa solo la somma dei lati: l'area dipende da come quella somma viene distribuita e arriva al massimo di $25{\mathrm{m}}^2$ con il quadrato. $25{\mathrm{m}}^2$ è il valore massimo, non quello certo; dividere il perimetro per 4 dà il lato del quadrato, cioè $5\mathrm{m}$, che è una lunghezza e non un'area.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.