Matematica · 2ª media · Lezione 12 di 13

Il cerchio e il numero π

Da dove viene π? Si srotola la circonferenza e si scopre il rapporto con il diametro.

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Teoria in pillole

Dividendo la circonferenza di un cerchio qualsiasi per il suo diametro si ottiene sempre lo stesso numero, circa $3,14$ : il numero π (pi greco).

$C = π \cdot d$

$C = 2 \cdot π \cdot r$

d

è il diametro,

r

il raggio, con

d = 2 \cdot r

; usa la prima formula se conosci il diametro, la seconda se conosci il raggio

Esempio: una circonferenza con diametro $10 cm$ misura circa $C = 3,14 \cdot 10 = 31,4 cm$ .
Stesso cerchio, usando il raggio ( $5 cm$ ): $C = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 31,4 cm$ . I due calcoli danno lo stesso risultato.
π è un numero irrazionale: le sue cifre decimali non finiscono e non si ripetono, quindi nei calcoli pratici si approssima, di solito a $3,14$ .
La circonferenza è una lunghezza (il bordo del cerchio) e si misura in unità lineari come $cm$ , non in unità quadrate come ${cm}^{2}$ .

Non confondere la circonferenza con l'area del cerchio: la prima è il bordo e si misura in cm, la seconda è la superficie interna e si misura in ${cm}^{2}$ ; quest'ultima si calcola con un'altra formula, che vedrai più avanti.

La mappa

Le parti della lezione in un colpo d'occhio. Il link apre la mappa completa, con i rami.

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Domande

Che cos'è il numero π?
- A Il rapporto fra la circonferenza e il raggio
- B Il rapporto fra la circonferenza e il diametro, uguale per ogni cerchio
- C La lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio $1$
- D Un numero che cambia da un cerchio all'altro
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Risposta giusta: B. Il rapporto fra la circonferenza e il diametro, uguale per ogni cerchio
Dividendo la circonferenza per il diametro si trova sempre lo stesso numero, circa 3,14: è questa costanza a rendere π interessante. Il rapporto con il raggio vale invece il doppio, circa 6,28, ed è proprio il $2 \cdot π$ della seconda formula.
Quale formula usi per la circonferenza se conosci il raggio?
- A $C = π \cdot r$
- B $C = π \cdot r^{2}$
- C $C = π \cdot d^{2}$
- D $C = 2 \cdot π \cdot r$
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Risposta giusta: D. $C = 2 \cdot π \cdot r$
Il diametro è il doppio del raggio, quindi da $C = π \cdot d$ si passa a $C = 2 \cdot π \cdot r$ . $π \cdot r^{2}$ è l'area del cerchio, non la circonferenza: misura una superficie e si esprime in ${cm}^{2}$ .
Una circonferenza ha diametro $10 cm$ . Quanto misura, prendendo π uguale a 3,14?
- A Circa 15,7 cm
- B Circa 31,4 cm
- C Circa 62,8 cm
- D Circa 78,5 cm
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Risposta giusta: B. Circa 31,4 cm
Con $C = π \cdot d$ si ottiene 3,14 · 10, cioè 31,4 cm. 62,8 cm si ottiene raddoppiando anche il diametro, 15,7 cm usando il raggio al suo posto; il numero 78,5 è invece quello dell'area, che si misura in ${cm}^{2}$ .
Una circonferenza ha raggio $4 cm$ . Quanto misura, con π uguale a 3,14?
- A Circa 6,28 cm
- B Circa 12,56 cm
- C Circa 25,12 cm
- D Circa 50,24 cm
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Risposta giusta: C. Circa 25,12 cm
$C = 2 \cdot π \cdot r$ dà 2 · 3,14 · 4, cioè 25,12 cm. 12,56 cm si ottiene trattando il raggio come se fosse il diametro, 50,24 cm raddoppiando una volta di troppo.
Perché la circonferenza si misura in cm e non in ${cm}^{2}$ ?
- A Perché π non ha unità di misura
- B Perché il diametro è già espresso in cm
- C Perché si potrebbe scrivere anche in ${cm}^{2}$ : sono equivalenti
- D Perché è una lunghezza, il bordo del cerchio, non una superficie
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Risposta giusta: D. Perché è una lunghezza, il bordo del cerchio, non una superficie
La circonferenza è la linea che chiude il cerchio: srotolata diventa un segmento, quindi si misura in unità lineari. I ${cm}^{2}$ servono per l'area, cioè per la parte di piano racchiusa: sono due grandezze diverse e non sono equivalenti.
Che cosa significa che π è un numero irrazionale?
- A Che le sue cifre decimali non finiscono e non si ripetono con un periodo
- B Che non si può usare nei calcoli
- C Che vale esattamente 3,14
- D Che assume valori diversi a seconda del cerchio
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Risposta giusta: A. Che le sue cifre decimali non finiscono e non si ripetono con un periodo
π ha infinite cifre decimali senza periodo: per questo nei problemi lo si approssima a 3,14 o a 3,14159. Approssimarlo non vuol dire che cambi: il rapporto fra circonferenza e diametro resta lo stesso per tutti i cerchi.
Una ruota di bicicletta ha una circonferenza di circa 200 cm. Quanto misura circa il suo diametro, con π uguale a 3,14?
- A Circa 628 cm
- B Circa 100 cm
- C Circa 64 cm
- D Circa 32 cm
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Risposta giusta: C. Circa 64 cm
Dalla formula inversa $d = \frac{C}{π}$ si ottiene 200 : 3,14, cioè circa 64 cm. 32 cm è il raggio, non il diametro; 100 cm sarebbe metà della circonferenza; 628 cm si ottiene moltiplicando per π invece di dividere.
Due cerchi hanno raggio $3 cm$ e $6 cm$ . Come stanno fra loro le due circonferenze?
- A La seconda è il doppio della prima
- B La seconda è il quadruplo della prima
- C Sono uguali: cambia solo l'area
- D La seconda è il triplo della prima
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Risposta giusta: A. La seconda è il doppio della prima
Nella formula $C = 2 \cdot π \cdot r$ il raggio compare una volta sola, quindi raddoppiando il raggio raddoppia anche la circonferenza. È l'area a quadruplicare, perché lì il raggio compare al quadrato: confondere i due comportamenti è l'errore tipico.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.

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