Triangoli e aree

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1. Un triangolo ha base $10\mathrm{cm}$ e altezza $6\mathrm{cm}$. Qual è la sua area?

   • A $15{\mathrm{cm}}^2$
   • B $16{\mathrm{cm}}^2$
   • C $30{\mathrm{cm}}^2$
   • D $60{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: C. $30{\mathrm{cm}}^2$

   L'area del triangolo è $\frac{\left(b·h\right)}{2}$, quindi $\left(10·6\right):2=30{\mathrm{cm}}^2$. $60{\mathrm{cm}}^2$ è il prodotto senza la divisione, cioè l'area del parallelogramma da cui il triangolo nasce; $15{\mathrm{cm}}^2$ viene da una divisione per 2 fatta due volte; $16{\mathrm{cm}}^2$ è la somma di base e altezza, che non è un'area.

2. Perché nella formula del triangolo si divide per 2?

   • A Perché il triangolo occupa metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza
   • B Perché il triangolo ha tre lati e nella formula ne servono due
   • C Perché l'altezza è sempre metà della base
   • D Perché ogni triangolo è metà di un quadrato
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   Risposta giusta: A. Perché il triangolo occupa metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza

   Due triangoli uguali, uno ruotato di mezzo giro, formano un parallelogramma di base $b$ e altezza $h$: il triangolo ne è la metà. Il quadrato è solo un caso particolare e non spiega la regola generale; fra altezza e base, poi, non c'è nessun rapporto fisso.

3. In un triangolo, che cos'è l'altezza relativa a una base?

   • A Il lato più lungo del triangolo
   • B Il lato obliquo che parte da un estremo della base
   • C Il segmento che unisce i punti medi degli altri due lati
   • D Il segmento perpendicolare alla base che arriva al vertice opposto
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   Risposta giusta: D. Il segmento perpendicolare alla base che arriva al vertice opposto

   L'altezza si misura sempre perpendicolarmente alla base scelta e arriva fino al vertice opposto. Il lato obliquo è più lungo dell'altezza (scambiarli è l'errore più frequente) e il segmento fra i punti medi è un'altra cosa ancora.

4. Un triangolo ha lati $5\mathrm{cm}$, $12\mathrm{cm}$ e $13\mathrm{cm}$; l'altezza relativa al lato di $12\mathrm{cm}$ misura $5\mathrm{cm}$. Qual è la sua area?

   • A $78{\mathrm{cm}}^2$
   • B $60{\mathrm{cm}}^2$
   • C $30{\mathrm{cm}}^2$
   • D $15{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: C. $30{\mathrm{cm}}^2$

   Si usa la base scelta con la sua altezza: $\left(12·5\right):2=30{\mathrm{cm}}^2$. $78{\mathrm{cm}}^2$ nasce dall'usare il lato di $13\mathrm{cm}$ come se fosse l'altezza, $60{\mathrm{cm}}^2$ dal dimenticare la divisione per 2.

5. Un triangolo ha area $24{\mathrm{cm}}^2$ e base $8\mathrm{cm}$. Quanto misura l'altezza relativa a quella base?

   • A $3\mathrm{cm}$
   • B $6\mathrm{cm}$
   • C $16\mathrm{cm}$
   • D $48\mathrm{cm}$
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   Risposta giusta: B. $6\mathrm{cm}$

   Dalla formula inversa $h=2·\frac{A}{b}$ si ottiene $48:8=6\mathrm{cm}$. Chi non raddoppia l'area trova $3\mathrm{cm}$; $16\mathrm{cm}$ raddoppia la base invece dell'area; $48\mathrm{cm}$ è l'area raddoppiata, prima di dividerla per la base.

6. Quanto misura il perimetro di un quadrato di lato $7\mathrm{cm}$?

   • A $49\mathrm{cm}$
   • B $28\mathrm{cm}$
   • C $21\mathrm{cm}$
   • D $14\mathrm{cm}$
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   Risposta giusta: B. $28\mathrm{cm}$

   Il quadrato ha quattro lati uguali: $7·4=28\mathrm{cm}$. $49\mathrm{cm}$ è il valore di $7·7$, che dà l'area in ${\mathrm{cm}}^2$ e non il perimetro; $14\mathrm{cm}$ e $21\mathrm{cm}$ contano solo due o tre lati.

7. Due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, ma forma diversa: uno è isoscele, l'altro molto inclinato. Che cosa si può dire delle loro aree?

   • A Sono uguali, perché l'area dipende solo da base e altezza
   • B È maggiore quella del triangolo isoscele
   • C È maggiore quella del triangolo inclinato, che ha i lati più lunghi
   • D Non si può dire senza conoscere i perimetri
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   Risposta giusta: A. Sono uguali, perché l'area dipende solo da base e altezza

   Spostando il vertice parallelamente alla base, l'altezza non cambia e nemmeno l'area: cambiano solo i lati obliqui, e quindi il perimetro. È lo stesso motivo per cui perimetro e area sono grandezze indipendenti.

8. Luca calcola l'area di un triangolo di base $6\mathrm{cm}$ usando il lato obliquo, che misura $5\mathrm{cm}$, al posto dell'altezza, che misura $4\mathrm{cm}$. Che risultato ottiene?

   • A $12{\mathrm{cm}}^2$: il risultato non cambia
   • B $24{\mathrm{cm}}^2$ invece di $12{\mathrm{cm}}^2$
   • C $10{\mathrm{cm}}^2$ invece di $12{\mathrm{cm}}^2$: l'area risulta più piccola
   • D $15{\mathrm{cm}}^2$ invece di $12{\mathrm{cm}}^2$: l'area risulta più grande del vero
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   Risposta giusta: D. $15{\mathrm{cm}}^2$ invece di $12{\mathrm{cm}}^2$: l'area risulta più grande del vero

   Con il lato obliquo si ottiene $\left(6·5\right):2=15{\mathrm{cm}}^2$, mentre l'area vera è $\left(6·4\right):2=12{\mathrm{cm}}^2$. Il lato obliquo è sempre più lungo dell'altezza, quindi questo errore gonfia l'area e non può mai farla diminuire.

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