L'area del trapezio

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• GeoLab · Aree: Costruisci le figure trascinando i vertici sulla griglia e rispondi alle domande: la difficoltà si adatta a come vai. Qui si parte dal trapezio.
• Quadrilateri (PhET, sito esterno): Prova a costruire trapezi con basi e altezza differenti e osserva come la coppia di lati paralleli resta la caratteristica decisiva.

1. Che cosa sono le due basi di un trapezio?

   • A I due lati obliqui
   • B Il lato più lungo e la sua altezza
   • C I due lati che formano un angolo retto
   • D I due lati paralleli
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   Risposta giusta: D. I due lati paralleli

   Le basi di un trapezio sono i due lati paralleli, ed è la loro somma a entrare nella formula $A=\left(B+b\right)·\frac{h}{2}$. I lati obliqui non sono basi e non compaiono nel calcolo dell'area; l'angolo retto c'è solo nel trapezio rettangolo, che resta un caso particolare.

2. Quale espressione dà l'area del trapezio?

   • A $A=\left(B+b\right)·\frac{h}{2}$
   • B $A=\left(B+b\right)·h$
   • C $A=B·b·\frac{h}{2}$
   • D $A=\left(B-b\right)·\frac{h}{2}$
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   Risposta giusta: A. $A=\left(B+b\right)·\frac{h}{2}$

   Due copie dello stesso trapezio, una capovolta, formano un parallelogramma di base $B+b$ e altezza $h$: la sua area è $\left(B+b\right)·h$ e il trapezio ne occupa la metà. Senza la divisione per 2 si ottiene l'area del parallelogramma doppio; moltiplicare o sottrarre le basi non corrisponde a nessuna figura.

3. Un trapezio ha basi $10\mathrm{cm}$ e $6\mathrm{cm}$ e altezza $4\mathrm{cm}$. Qual è la sua area?

   • A $16{\mathrm{cm}}^2$
   • B $20{\mathrm{cm}}^2$
   • C $32{\mathrm{cm}}^2$
   • D $64{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: C. $32{\mathrm{cm}}^2$

   Si sommano le basi, $10+6=16$, si moltiplica per l'altezza, $16·4=64$, e si divide per 2: $32{\mathrm{cm}}^2$. $64{\mathrm{cm}}^2$ è il risultato di chi dimentica la divisione, $20{\mathrm{cm}}^2$ di chi usa una sola base, $16{\mathrm{cm}}^2$ è la somma delle basi, che non è ancora un'area.

4. Da dove viene la divisione per 2 nella formula del trapezio?

   • A Dal fatto che il trapezio ha due basi
   • B Dal fatto che l'altezza va sempre dimezzata
   • C Dal fatto che il trapezio è metà di un rettangolo di lati $B$ e $b$
   • D Da due copie del trapezio che insieme formano un parallelogramma di base $B+b$ e altezza $h$
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   Risposta giusta: D. Da due copie del trapezio che insieme formano un parallelogramma di base $B+b$ e altezza $h$

   Affiancando al trapezio una sua copia ruotata di mezzo giro si ottiene un parallelogramma: la base è $B+b$, l'altezza è la stessa $h$, e il trapezio ne è esattamente la metà. La divisione per 2 non dipende dal numero delle basi e non dimezza l'altezza, che nella formula entra per intero.

5. Marta calcola l'area di un trapezio isoscele con basi $12\mathrm{cm}$ e $8\mathrm{cm}$, lati obliqui $5\mathrm{cm}$ e altezza $4\mathrm{cm}$ scrivendo $\left(12+8+5+5\right)·\frac{4}{2}$. Che errore ha fatto?

   • A Ha dimenticato di dividere per 2
   • B Ha scambiato l'altezza con la base maggiore
   • C Ha messo nella somma anche i lati obliqui, che non sono basi
   • D Nessun errore: il calcolo è corretto
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   Risposta giusta: C. Ha messo nella somma anche i lati obliqui, che non sono basi

   Nella formula entrano soltanto le due basi, cioè i lati paralleli: $\left(12+8\right)·\frac{4}{2}=40{\mathrm{cm}}^2$. Marta ha sommato anche i due lati obliqui, che servono per il perimetro e non per l'area, e ottiene $60{\mathrm{cm}}^2$. La divisione per 2 c'è, e altezza e base non sono state scambiate.

6. Un trapezio ha area $60{\mathrm{m}}^2$, base maggiore $13\mathrm{m}$ e base minore $7\mathrm{m}$. Quanto misura l'altezza?

   • A $3\mathrm{m}$
   • B $6\mathrm{m}$
   • C $10\mathrm{m}$
   • D $20\mathrm{m}$
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   Risposta giusta: B. $6\mathrm{m}$

   Dalla formula inversa $h=2·\frac{A}{\left(B+b\right)}$ si ottiene $120:20=6\mathrm{m}$. Chi dimentica di raddoppiare l'area trova $3\mathrm{m}$; chi usa la differenza delle basi al posto della somma trova $10\mathrm{m}$; $20\mathrm{m}$ è la somma delle basi, non l'altezza.

7. In un trapezio rettangolo, quale segmento fa da altezza?

   • A Il lato obliquo
   • B Il lato perpendicolare alle due basi
   • C La base maggiore
   • D La diagonale più lunga
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   Risposta giusta: B. Il lato perpendicolare alle due basi

   Nel trapezio rettangolo uno dei lati è già perpendicolare alle basi: quel lato è l'altezza e non serve tracciarne un'altra. Il lato obliquo è più lungo dell'altezza e usarlo al suo posto gonfia l'area; base e diagonale misurano altro.

8. Due trapezi hanno la stessa altezza; nel primo le basi misurano $9\mathrm{cm}$ e $5\mathrm{cm}$, nel secondo $12\mathrm{cm}$ e $2\mathrm{cm}$. Che cosa si può dire delle loro aree?

   • A Sono uguali, perché nella formula entra solo la somma delle basi
   • B È maggiore quella del trapezio con la base più lunga
   • C È maggiore quella del trapezio con le basi più vicine fra loro
   • D Non si può dire senza conoscere i lati obliqui
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   Risposta giusta: A. Sono uguali, perché nella formula entra solo la somma delle basi

   In entrambi i casi la somma delle basi vale $14\mathrm{cm}$, quindi con la stessa altezza l'area è la stessa. La formula usa $B+b$: come quella somma si distribuisce fra le due basi non cambia il risultato, e i lati obliqui non entrano nel calcolo.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.