L'area dei quadrilateri con diagonali perpendicolari

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• Quadrilateri (PhET, sito esterno): Prova a modellare quadrilateri le cui diagonali si incontrano ad angolo retto e osserva come questa proprietà restringe le configurazioni possibili.

1. Per quali quadrilateri vale la formula $A=d_1·\frac{d_2}{2}$?

   • A Per tutti i quadrilateri
   • B Solo per il quadrato
   • C Per quelli le cui diagonali si incontrano ad angolo retto
   • D Solo per quelli con i quattro lati uguali
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   Risposta giusta: C. Per quelli le cui diagonali si incontrano ad angolo retto

   La condizione è una sola: le diagonali devono essere perpendicolari. Vale per il rombo e per il quadrato, ma anche per l'aquilone, che non ha i quattro lati uguali; non vale invece per un quadrilatero qualsiasi, dove le diagonali si incontrano con un angolo diverso da $90°$.

2. Un rombo ha le diagonali di $8\mathrm{cm}$ e $6\mathrm{cm}$. Qual è la sua area?

   • A $48{\mathrm{cm}}^2$
   • B $24{\mathrm{cm}}^2$
   • C $14{\mathrm{cm}}^2$
   • D $7{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: B. $24{\mathrm{cm}}^2$

   Si moltiplicano le diagonali e si divide per 2: $8·6:2=24{\mathrm{cm}}^2$. $48{\mathrm{cm}}^2$ è il prodotto senza la divisione, cioè l'area del rettangolo costruito sulle diagonali; $14{\mathrm{cm}}^2$ e $7{\mathrm{cm}}^2$ vengono dalla somma delle diagonali, che con l'area non c'entra.

3. Perché nella formula delle diagonali si divide per 2?

   • A Perché le diagonali sono due
   • B Perché ogni diagonale divide la figura in due parti uguali
   • C Perché la figura occupa metà del rettangolo costruito sulle diagonali
   • D Perché le diagonali si tagliano a metà
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   Risposta giusta: C. Perché la figura occupa metà del rettangolo costruito sulle diagonali

   Tracciando il rettangolo che ha per lati le due diagonali si vede che il rombo, o l'aquilone, ne riempie esattamente la metà: da qui la divisione per $2$. Non dipende dal numero delle diagonali, e nell'aquilone le diagonali non si tagliano nemmeno a metà, eppure la formula continua a valere.

4. In un aquilone le diagonali sono perpendicolari, ma non si tagliano a metà. La formula vale lo stesso?

   • A Sì: basta che siano perpendicolari e che se ne conosca la lunghezza totale
   • B No: le diagonali devono anche dividersi a metà
   • C Sì, ma solo se i lati sono uguali a due a due
   • D No: per l'aquilone si usa base per altezza
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   Risposta giusta: A. Sì: basta che siano perpendicolari e che se ne conosca la lunghezza totale

   L'unica condizione è l'angolo retto fra le diagonali; il punto in cui si incontrano può dividerle in parti diverse. Nella formula entrano le lunghezze intere $d_1$ e $d_2$, non i quattro pezzi separati.

5. Un rombo ha area $60{\mathrm{cm}}^2$ e una diagonale di $10\mathrm{cm}$. Quanto misura l'altra diagonale?

   • A $6\mathrm{cm}$
   • B $12\mathrm{cm}$
   • C $50\mathrm{cm}$
   • D $120\mathrm{cm}$
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   Risposta giusta: B. $12\mathrm{cm}$

   Dalla formula inversa $d_2=2·\frac{A}{d_1}$ si ottiene $120:10=12\mathrm{cm}$. Chi dimentica di raddoppiare l'area trova $6\mathrm{cm}$; $120\mathrm{cm}$ è l'area raddoppiata ma non ancora divisa, $50\mathrm{cm}$ una sottrazione senza significato geometrico.

6. Marco calcola l'area di un rombo con diagonali $9\mathrm{cm}$ e $4\mathrm{cm}$ scrivendo $9·4=36{\mathrm{cm}}^2$. Dov'è l'errore?

   • A Ha dimenticato di dividere per 2: l'area è $18{\mathrm{cm}}^2$
   • B Doveva sommare le diagonali invece di moltiplicarle
   • C Doveva usare i lati del rombo, non le diagonali
   • D Ha sbagliato l'unità: si scrive $36\mathrm{cm}$
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   Risposta giusta: A. Ha dimenticato di dividere per 2: l'area è $18{\mathrm{cm}}^2$

   $9·4=36$ è l'area del rettangolo costruito sulle diagonali; il rombo ne occupa la metà, quindi $18{\mathrm{cm}}^2$. Le diagonali erano i dati giusti e il prodotto di due lunghezze dà correttamente dei ${\mathrm{cm}}^2$: manca soltanto l'ultimo passaggio.

7. In un quadrato di lato $5\mathrm{cm}$ le diagonali sono perpendicolari e misurano circa 7,07 cm ciascuna. Che risultato dà la formula delle diagonali?

   • A Circa $50{\mathrm{cm}}^2$, il doppio di quella vera
   • B Circa $12{\mathrm{cm}}^2$, la metà di quella vera
   • C Nessuno: per il quadrato la formula non vale
   • D Circa $25{\mathrm{cm}}^2$, la stessa area che dà $l·l$
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   Risposta giusta: D. Circa $25{\mathrm{cm}}^2$, la stessa area che dà $l·l$

   Il quadrato ha le diagonali perpendicolari, quindi la formula si applica: 7,07 · 7,07 : 2 fa poco meno di $25{\mathrm{cm}}^2$, lo stesso valore di $5·5$. Due formule diverse per la stessa figura devono dare lo stesso risultato, ed è un buon modo per controllarle a vicenda.

8. Un quadrilatero ha diagonali di $10\mathrm{cm}$ e $8\mathrm{cm}$ che si incontrano formando un angolo di $60°$. Si può usare $A=d_1·\frac{d_2}{2}$?

   • A Sì: la formula vale per ogni quadrilatero
   • B Sì, ma il risultato va diviso ancora per 2
   • C Sì, purché le diagonali si taglino a metà
   • D No, perché le diagonali non sono perpendicolari
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   Risposta giusta: D. No, perché le diagonali non sono perpendicolari

   Con un angolo di $60°$ manca proprio la condizione che rende valida la formula. Le diagonali devono incontrarsi ad angolo retto: altrimenti il rettangolo costruito su di esse non contiene la figura nel modo giusto e la metà non torna.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.