Esercitazione su aree e lunghezze

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• Disegna un'area (PhET, sito esterno): Prova a ricostruire figure usando un numero fissato di quadretti e osserva quali contorni producono la stessa area con lunghezze diverse.

1. Quale formula usi per calcolare la base di un rettangolo, conoscendo area e altezza?

   • A $b=A·h$
   • B $b=\frac{A}{h}$
   • C $b=\frac{h}{A}$
   • D $b=A-h$
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   Risposta giusta: B. $b=\frac{A}{h}$

   Dalla stessa relazione $A=b·h$ si ricava $b=\frac{A}{h}$ dividendo l'area per l'altezza, esattamente come per trovare l'altezza si divide per la base. Moltiplicare o sottrarre non isola la base nella formula.

2. Quali unità si usano per esprimere la lunghezza di un lato?

   • A ${\mathrm{cm}}^2$ e ${\mathrm{m}}^2$
   • B ${\mathrm{cm}}^3$ e ${\mathrm{m}}^3$
   • C $\mathrm{cm}$ e $\mathrm{m}$
   • D % e €
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   Risposta giusta: C. $\mathrm{cm}$ e $\mathrm{m}$

   I lati sono misure lineari, quindi si esprimono in $\mathrm{cm}$, $\mathrm{m}$ e simili; ${\mathrm{cm}}^2$ e ${\mathrm{m}}^2$ servono per le aree, ${\mathrm{cm}}^3$ per i volumi. Confondere queste unità è proprio l'errore da evitare quando si mettono insieme più misure.

3. Prima di sostituire i dati in una formula, cosa bisogna controllare?

   • A Che l'area sia maggiore del perimetro
   • B Che i dati siano numeri interi
   • C Che la figura sia un quadrato
   • D Che i dati siano tutti nella stessa unità di misura
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   Risposta giusta: D. Che i dati siano tutti nella stessa unità di misura

   Se i dati sono espressi in unità diverse, per esempio metri e centimetri, il calcolo con la formula dà un risultato sbagliato: vanno prima convertiti nella stessa unità. Il tipo di figura o il confronto tra area e perimetro non c'entrano con questo controllo.

4. Marco vuole calcolare il perimetro di un rettangolo con base $12\mathrm{cm}$ e altezza $5\mathrm{cm}$, e prova a sommare $12+5+60$, dove $60$ è l'area. Cosa c'è di sbagliato?

   • A Sta sommando centimetri e centimetri quadrati, che sono grandezze diverse
   • B Niente, il procedimento è corretto
   • C Ha sbagliato a calcolare l'area, che non è $60{\mathrm{cm}}^2$
   • D Il perimetro si calcola solo con $2·\left(b+h\right)$, non si possono sommare i lati uno per uno
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   Risposta giusta: A. Sta sommando centimetri e centimetri quadrati, che sono grandezze diverse

   Centimetri e centimetri quadrati misurano grandezze diverse, lunghezza e superficie, quindi non si possono sommare: $12+5+60$ non ha senso matematico. Il perimetro si ottiene sommando solo lunghezze, per esempio $12+5+12+5$ oppure con $2·\left(b+h\right)$: l'errore di Marco è aver messo un'area dentro quella somma.

5. Un rettangolo ha base $2\mathrm{m}$ e altezza $50\mathrm{cm}$. Prima di calcolare l'area, cosa devi fare?

   • A Convertire le due misure nella stessa unità
   • B Niente, puoi moltiplicare subito $2·50$
   • C Sommare le due misure
   • D Trasformare subito il risultato in metri cubi
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   Risposta giusta: A. Convertire le due misure nella stessa unità

   Base e altezza sono in unità diverse, metri e centimetri: moltiplicarle così com'è darebbe un numero senza significato reale. Vanno prima convertite nella stessa unità, poi si applica la formula dell'area.

6. Lo stesso rettangolo (base $2\mathrm{m}$, altezza $50\mathrm{cm}$): convertendo tutto in centimetri, quanto vale l'area?

   • A $100{\mathrm{cm}}^2$
   • B $250{\mathrm{cm}}^2$
   • C $2500{\mathrm{cm}}^2$
   • D $\mathrm{10 000}{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: D. $\mathrm{10 000}{\mathrm{cm}}^2$

   Convertendo $2\mathrm{m}$ in $200\mathrm{cm}$, l'area è $200·50=\mathrm{10 000}{\mathrm{cm}}^2$, che corrisponde a $1{\mathrm{m}}^2$. I valori più piccoli vengono da moltiplicazioni fatte senza convertire prima le unità.

7. Un giardino rettangolare ha area $84{\mathrm{m}}^2$ e base $12\mathrm{m}$. Quanto misura l'altezza?

   • A $6\mathrm{m}$
   • B $7\mathrm{m}$
   • C $8\mathrm{m}$
   • D $9\mathrm{m}$
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   Risposta giusta: B. $7\mathrm{m}$

   Dalla formula inversa $h=\frac{A}{b}$ si ottiene $84:12=7\mathrm{m}$. Gli altri valori non tornano con questa divisione.

8. Una figura a L si scompone in due rettangoli: uno di $6\mathrm{cm}·4\mathrm{cm}$ e uno di $3\mathrm{cm}·2\mathrm{cm}$. Qual è l'area totale della figura?

   • A $18{\mathrm{cm}}^2$
   • B $24{\mathrm{cm}}^2$
   • C $30{\mathrm{cm}}^2$
   • D $36{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: C. $30{\mathrm{cm}}^2$

   Scomponendo la figura si sommano le due aree separate: $6·4=24{\mathrm{cm}}^2$ e $3·2=6{\mathrm{cm}}^2$, per un totale di $30{\mathrm{cm}}^2$. Qui la somma è corretta perché entrambe le grandezze sono già aree, a differenza dell'errore di sommare cm e cm² insieme.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.