Area di parallelogramma e triangolo

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• GeoLab · Aree: Costruisci le figure trascinando i vertici sulla griglia e rispondi alle domande: la difficoltà si adatta a come vai. Qui si parte dal parallelogramma, poi si passa al triangolo.
• Disegna un'area (PhET, sito esterno): Prova a comporre rettangoli usando parallelogrammi e triangoli con base e altezza scelte e osserva come le parti ricostruiscono l'area totale.

1. Qual è l'altezza di un parallelogramma rispetto a una base scelta?

   • A il segmento perpendicolare che va dalla base al lato opposto
   • B il lato obliquo del parallelogramma
   • C la diagonale del parallelogramma
   • D il lato più lungo del parallelogramma
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   Risposta giusta: A. il segmento perpendicolare che va dalla base al lato opposto

   L'altezza è sempre perpendicolare alla base scelta, cioè forma con essa un angolo retto: non è né il lato obliquo né la diagonale, che in generale non sono perpendicolari alla base.

2. Qual è la formula corretta per l'area del triangolo, dove $b$ è la base e $h$ la sua altezza?

   • A $A_t=b·h$
   • B $A_t=b·\frac{h}{2}$
   • C $A_t=\frac{\left(b+h\right)}{2}$
   • D $A_t=2·b·h$
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   Risposta giusta: B. $A_t=b·\frac{h}{2}$

   Due triangoli congruenti accostati formano un parallelogramma di area $b·h$: ciascun triangolo ne occupa quindi la metà, da cui $A_t=b·\frac{h}{2}$. Le altre formule non derivano da questo ragionamento.

3. Perché l'area del parallelogramma si calcola con la stessa formula del rettangolo, $A_p=b·h$?

   • A Perché la base e il lato obliquo misurano sempre la stessa lunghezza
   • B Perché ogni parallelogramma è già un rettangolo con i lati inclinati
   • C Perché tagliando un triangolino da un lato e spostandolo dall'altro il parallelogramma si «raddrizza» in un rettangolo di area equivalente
   • D Perché l'area di ogni figura si trova moltiplicando due lati qualsiasi
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   Risposta giusta: C. Perché tagliando un triangolino da un lato e spostandolo dall'altro il parallelogramma si «raddrizza» in un rettangolo di area equivalente

   Spostando il triangolo di scarto da un lato all'altro si ottiene un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma di partenza: le due figure hanno la stessa area, quindi vale $A_p=b·h$.

4. In un parallelogramma il lato obliquo misura $7$ cm e non è perpendicolare alla base. Puoi usarlo come altezza per calcolare l'area?

   • A No: l'altezza deve formare un angolo retto con la base, un lato obliquo non va bene
   • B Sì, qualsiasi lato può essere usato come altezza
   • C Sì, ma solo se il parallelogramma è un rombo
   • D No, perché l'altezza deve sempre essere più lunga della base
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   Risposta giusta: A. No: l'altezza deve formare un angolo retto con la base, un lato obliquo non va bene

   È l'errore tipico su questo argomento: l'altezza non è «un lato qualsiasi», ma il segmento perpendicolare alla base. Un lato inclinato non forma un angolo retto con la base, quindi non misura l'altezza.

5. In un parallelogramma la base scelta è il lato $\mathrm{AB}$. Quale segmento è l'altezza corretta da usare nella formula $A_p=b·h$?

   • A Il lato obliquo $\mathrm{AD}$, perché è adiacente alla base
   • B Il lato $\mathrm{BC}$, opposto ad $\mathrm{AD}$
   • C La diagonale $\mathrm{AC}$
   • D Il segmento perpendicolare da $\mathrm{AB}$ al lato opposto $\mathrm{CD}$
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   Risposta giusta: D. Il segmento perpendicolare da $\mathrm{AB}$ al lato opposto $\mathrm{CD}$

   Base e altezza devono riferirsi alla stessa scelta di lato: se la base è $\mathrm{AB}$, l'altezza è il segmento perpendicolare da $\mathrm{AB}$ al lato opposto (o al suo prolungamento), non un lato obliquo né una diagonale.

6. Due triangoli congruenti si accostano lungo un lato e formano un parallelogramma di area $48{\mathrm{cm}}^2$. Quanto misura l'area di ciascun triangolo?

   • A $12{\mathrm{cm}}^2$
   • B $24{\mathrm{cm}}^2$
   • C $48{\mathrm{cm}}^2$
   • D $96{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: B. $24{\mathrm{cm}}^2$

   Due triangoli congruenti formano insieme il parallelogramma, quindi ciascuno ne occupa esattamente metà: $\frac{48}{2}=24{\mathrm{cm}}^2$, coerente con $A_t=b·\frac{h}{2}$.

7. Un parallelogramma ha base $9$ cm e altezza relativa $6$ cm. Qual è la sua area?

   • A $15{\mathrm{cm}}^2$
   • B $27{\mathrm{cm}}^2$
   • C $54{\mathrm{cm}}^2$
   • D $108{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: C. $54{\mathrm{cm}}^2$

   Si applica $A_p=b·h$: $9·6=54{\mathrm{cm}}^2$. Sommare base e altezza invece di moltiplicarle dà $15$, dimezzare senza motivo dà $27$, raddoppiare il risultato corretto dà $108$.

8. Un triangolo ha base $10$ cm e altezza relativa $8$ cm, mentre uno dei lati obliqui misura $9$ cm. Qual è l'area del triangolo?

   • A $90{\mathrm{cm}}^2$
   • B $80{\mathrm{cm}}^2$
   • C $45{\mathrm{cm}}^2$
   • D $40{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: D. $40{\mathrm{cm}}^2$

   Si usa la base e l'altezza corrispondente: $10·\frac{8}{2}=40{\mathrm{cm}}^2$. Usare il lato obliquo $9$ cm al posto dell'altezza (come in $45{\mathrm{cm}}^2$) è l'errore tipico; dimenticare di dividere per due porta a $80{\mathrm{cm}}^2$.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.