Osservazioni su parallelogrammi e triangoli

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Le parti della lezione in un colpo d'occhio. Il link apre la mappa completa, con i rami.

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• Quadrilateri (PhET, sito esterno): Prova a trasformare un quadrilatero trascinando i vertici e controllando il parallelismo e osserva come le proprietà dei lati distinguono le famiglie di figure.

1. Tagliando un parallelogramma e ricomponendo i pezzi si ottiene un'altra figura. In che senso questa nuova figura è equivalente a quella di partenza?

   • A Ha la stessa forma dell'originale
   • B È sempre un parallelogramma anch'essa
   • C Ha lo stesso perimetro dell'originale
   • D Ha la stessa area dell'originale, anche se la forma è cambiata
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   Risposta giusta: D. Ha la stessa area dell'originale, anche se la forma è cambiata

   Tagliare e ricomporre sposta i pezzi ma non ne cambia la quantità di superficie: per questo l'area resta identica anche se la figura appare diversa. La forma o il perimetro possono cambiare, quindi non sono il criterio giusto per dire che due figure sono equivalenti.

2. In un parallelogramma, qual è il segmento che rappresenta l'altezza rispetto a una base scelta?

   • A Il segmento perpendicolare alla base scelta, fino al lato opposto
   • B Il lato obliquo che collega le due basi
   • C La diagonale del parallelogramma
   • D Un lato qualsiasi, purché non sia la base
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   Risposta giusta: A. Il segmento perpendicolare alla base scelta, fino al lato opposto

   L'altezza è per definizione perpendicolare alla base che hai scelto: solo così misura davvero la distanza tra la base e il lato opposto. Il lato obliquo e la diagonale sono segmenti reali della figura, ma non sono perpendicolari alla base, quindi non misurano l'altezza.

3. Per calcolare l'area di un parallelogramma, Giulia moltiplica la base per la lunghezza del lato obliquo. Perché è un errore?

   • A Non è un errore: lato obliquo e altezza coincidono sempre
   • B Il lato obliquo non è perpendicolare alla base, quindi non è l'altezza da usare nella formula
   • C L'errore è piccolo e si può ignorare nei calcoli
   • D È sbagliato solo se il parallelogramma è molto inclinato
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   Risposta giusta: B. Il lato obliquo non è perpendicolare alla base, quindi non è l'altezza da usare nella formula

   L'altezza deve essere perpendicolare alla base, mentre il lato obliquo è inclinato: usarlo al posto dell'altezza dà un'area sbagliata. L'errore non è trascurabile e non dipende da quanto è inclinata la figura: va evitato sempre.

4. Perché l'area del triangolo si calcola come $A_t=b·\frac{h}{2}$ mentre quella del parallelogramma come $A_p=b·h$?

   • A Perché il triangolo ha un lato in meno rispetto al parallelogramma
   • B È solo una convenzione, senza un motivo geometrico
   • C Perché l'altezza del triangolo è sempre la metà di quella del parallelogramma
   • D Perché, con stessa base e stessa altezza, il triangolo occupa esattamente metà del parallelogramma
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   Risposta giusta: D. Perché, con stessa base e stessa altezza, il triangolo occupa esattamente metà del parallelogramma

   Con la stessa base e la stessa altezza, un triangolo è esattamente la metà di un parallelogramma: per questo la sua formula ha il ÷2 in più. Non c'entra il numero di lati né un dimezzamento dell'altezza: è l'area, non l'altezza, a essere metà.

5. Due parallelogrammi hanno la stessa base e la stessa altezza, ma uno è dritto e l'altro molto inclinato. Come sono le loro aree?

   • A Le aree sono uguali: contano solo base e altezza, non l'inclinazione
   • B Quello dritto ha area maggiore, perché è più compatto
   • C Quello inclinato ha area maggiore, perché sembra più allungato
   • D Non si può dire senza conoscere anche il lato obliquo
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   Risposta giusta: A. Le aree sono uguali: contano solo base e altezza, non l'inclinazione

   L'area dipende solo da base e altezza: se questi due valori sono uguali, anche l'area è uguale, qualunque sia l'inclinazione della figura. L'aspetto 'allungato' o 'compatto' inganna l'occhio ma non cambia il calcolo, e il lato obliquo non entra nella formula.

6. Quante coppie diverse di base e altezza si possono scegliere in uno stesso triangolo?

   • A Una
   • B Due
   • C Tre
   • D Quattro
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   Risposta giusta: C. Tre

   Ogni triangolo ha tre lati, e ciascuno può essere scelto come base: a ogni base scelta corrisponde una diversa altezza, perpendicolare a quella base. Per questo le coppie possibili sono sempre tre, non una sola né quattro.

7. Un parallelogramma ha base $12$ cm e altezza $7$ cm. Quanto misura la sua area?

   • A $168{\mathrm{cm}}^2$
   • B $84{\mathrm{cm}}^2$
   • C $42{\mathrm{cm}}^2$
   • D $19{\mathrm{cm}}^2$
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   Risposta giusta: B. $84{\mathrm{cm}}^2$

   L'area del parallelogramma è $A=b·h$, quindi $12·7=84{\mathrm{cm}}^2$. $19$ viene da un'addizione al posto della moltiplicazione, $42$ è la metà (formula del triangolo, non del parallelogramma) e $168$ è un raddoppio di troppo.

8. Un triangolo ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma di prima ($12$ cm e $7$ cm). Quanto misura la sua area?

   • A $168{\mathrm{cm}}^2$
   • B $84{\mathrm{cm}}^2$
   • C $42{\mathrm{cm}}^2$
   • D $21{\mathrm{cm}}^2$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. $42{\mathrm{cm}}^2$

   L'area del triangolo è $A=b·\frac{h}{2}$, quindi $12·7:2=42{\mathrm{cm}}^2$, esattamente la metà del parallelogramma con la stessa base e altezza. $84{\mathrm{cm}}^2$ è l'errore più comune, dimenticare di dividere per due; $21$ e $168$ vengono da divisioni o moltiplicazioni sbagliate.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Aree: Sei livelli progressivi: significato dell'area, equivalenze, formule dirette e inverse, scomposizione e problemi reali, con correzione ragionata.