Matematica · 2ª media · Lezione 2 di 2

Dal decimale alla frazione generatrice

Costruire la frazione generatrice di un numero decimale limitato, periodico semplice o periodico misto, ridurla ai minimi termini e verificarla con la divisione.

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Teoria in pillole

Un numero decimale limitato o periodico si può sempre scrivere come frazione. Quella frazione si chiama frazione generatrice: dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene proprio quel numero. Trovarla è il percorso inverso della lezione precedente: invece di partire dalla frazione e dividere, si parte dalle cifre e si ricostruiscono numeratore e denominatore. Per farlo si distinguono tre parti del numero: la parte intera, l'antiperiodo, cioè le cifre decimali che precedono il periodo, e il periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripete e che si segna con la barra.

Numero decimale limitato

Le cifre dopo la virgola sono in numero finito e non si ripete niente.

$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

Il numeratore è il numero scritto senza la virgola. Il denominatore è

1

seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali: qui due cifre, quindi

100

. Poi si riduce ai minimi termini.

Numero periodico semplice

Il periodo comincia subito dopo la virgola: non c'è antiperiodo.

$0, 27 = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Il denominatore ha tanti

9

quante sono le cifre del periodo: qui due cifre, quindi

99

. Il numeratore è il numero senza virgola e senza barra,

27

, meno ciò che precede il periodo: qui c'è solo la parte intera

0

, quindi non si toglie niente.

Numero periodico misto

Fra la virgola e il periodo ci sono altre cifre: sono l'antiperiodo.

$0,1 6 = \frac{(16 - 1)}{90}$

$\frac{(16 - 1)}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

Il numeratore è il numero senza virgola e senza barra,

16

, meno ciò che precede il periodo, cioè

1

. Il denominatore ha un

9

per ogni cifra del periodo, seguito da uno

0

per ogni cifra dell'antiperiodo: un periodo e un antiperiodo di una cifra ciascuno, quindi

90

Periodico con parte intera diversa da zero

La parte intera non è un antiperiodo, ma fa parte di ciò che precede il periodo e si toglie dal numeratore.

$3,1 6 = \frac{(316 - 31)}{90}$

$\frac{(316 - 31)}{90} = \frac{285}{90} = \frac{19}{6}$

Il numero senza virgola e senza barra è

316

. Le cifre che precedono il periodo sono

3

(parte intera) e

1

(antiperiodo): formano

31

. Il denominatore resta

90

, perché la parte intera non aggiunge né

9

né

0

Un numero intero non ha cifre decimali: il denominatore è $1$ , per esempio $7 = \frac{7}{1}$ .
Anche un periodico semplice con parte intera diversa da zero toglie la parte intera: $1, 3 = \frac{(13 - 1)}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ .
Un decimale periodico è un numero esatto: $0, 3$ vale esattamente $\frac{1}{3}$ . Troncarlo, per esempio scrivendo $0,33$ , dà invece un decimale limitato, che vale $\frac{33}{100}$ .
La frazione ottenuta va ridotta ai minimi termini: $\frac{27}{99}$ e $\frac{3}{11}$ sono lo stesso numero, ma la seconda è la forma ridotta.
La verifica è la divisione: si divide il numeratore per il denominatore e si controlla di ritrovare il numero di partenza, cifre e barra comprese. Per esempio $3 : 11 = 0, 27$ .

L'errore più frequente è contare male i $9$ e gli $0$ del denominatore. I $9$ si contano soltanto sulle cifre del periodo, gli $0$ soltanto su quelle dell'antiperiodo. In $0,1 6$ le cifre decimali sono due, ma il denominatore non è $99$ e non è $100$ : è $90$ . Il secondo errore è togliere il periodo invece di ciò che lo precede: per $0,1 6$ si calcola $16 - 1$ , non $16 - 6$ . Il terzo è tagliare il numero: $0,16$ è un decimale limitato e vale $\frac{16}{100}$ , non $\frac{1}{6}$ .

La mappa

La sintesi raccoglie le idee principali. Apri la mappa completa per leggere regole, esempi e controlli.

Mappa mentale: Dal decimale alla frazione generatrice

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Simulazioni

Dal periodico alla frazione: Costruisci numeratore e denominatore un passo alla volta, riduci la frazione e gioca a squadre. Equazioni come approfondimento facoltativo.
Palestra delle espressioni con i decimali: Espressioni con decimali limitati, periodici semplici e periodici misti: ogni decimale diventa prima una frazione generatrice, poi si calcola un passaggio alla volta come alla lavagna.

Domande

Quale frazione, prima di essere ridotta, rappresenta il decimale limitato $0,072$ ?
- A $\frac{72}{100}$
- B $\frac{72}{1000}$
- C $\frac{720}{1000}$
- D $\frac{72}{10}$
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Risposta giusta: B. $\frac{72}{1000}$
Il numeratore è il numero senza virgola, $72$ . Il numero ha tre cifre decimali ( $0$ , $7$ e $2$ ), quindi il denominatore è $1$ seguito da tre zeri: $1000$ . Con $100$ si otterrebbe $0,72$ , e anche $\frac{720}{1000}$ vale $0,72$ ; $\frac{72}{10}$ vale $7,2$ .
Qual è la frazione generatrice di $1,25$ , ridotta ai minimi termini?
- A $\frac{1}{4}$
- B $\frac{125}{100}$
- C $\frac{25}{20}$
- D $\frac{5}{4}$
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Risposta giusta: D. $\frac{5}{4}$
Il numero senza virgola è $125$ e le cifre decimali sono due: $\frac{125}{100}$ . Dividendo numeratore e denominatore per $25$ si ottiene $\frac{5}{4}$ . La frazione $\frac{1}{4}$ vale $0,25$ e ignora la parte intera; $\frac{125}{100}$ non è ridotta; $\frac{25}{20}$ è ridotta solo in parte, perché si può dividere ancora per $5$ .
Quale frazione, ridotta ai minimi termini, è la frazione generatrice di $0, 36$ ?
- A $\frac{4}{11}$
- B $\frac{9}{25}$
- C $\frac{2}{5}$
- D $\frac{4}{111}$
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Risposta giusta: A. $\frac{4}{11}$
Il periodo ha due cifre e non c'è antiperiodo: il denominatore è $99$ . Il numeratore è $36$ , perché prima del periodo c'è solo la parte intera $0$ . Da $\frac{36}{99}$ , dividendo per $9$ , si ottiene $\frac{4}{11}$ . Il denominatore $100$ tratterebbe il numero come limitato ( $\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ ); il denominatore $90$ aggiungerebbe uno zero che non serve ( $\frac{36}{90} = \frac{2}{5}$ ); tre $9$ sono uno di troppo ( $\frac{36}{999} = \frac{4}{111}$ ).
Quale frazione, ridotta ai minimi termini, è la frazione generatrice di $0,2 3$ ?
- A $\frac{23}{90}$
- B $\frac{7}{33}$
- C $\frac{7}{30}$
- D $\frac{23}{99}$
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Risposta giusta: C. $\frac{7}{30}$
L'antiperiodo è $2$ e il periodo è $3$ . Il numeratore è $23 - 2 = 21$ ; il denominatore ha un $9$ e uno $0$ : $90$ . Da $\frac{21}{90}$ , dividendo per $3$ , si ottiene $\frac{7}{30}$ . Il numeratore $23$ dimentica la sottrazione; il denominatore $99$ dimentica lo zero dell'antiperiodo ( $\frac{21}{99} = \frac{7}{33}$ ).
Quale frazione, ridotta ai minimi termini, è la frazione generatrice di $3,1 6$ ?
- A $\frac{158}{45}$
- B $\frac{1}{6}$
- C $\frac{95}{33}$
- D $\frac{19}{6}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{19}{6}$
Il numero senza virgola è $316$ e ciò che precede il periodo è $31$ (parte intera $3$ e antiperiodo $1$ ). Il numeratore è $316 - 31 = 285$ e il denominatore è $90$ . Da $\frac{285}{90}$ , dividendo per $15$ , si ottiene $\frac{19}{6}$ . Se non si toglie niente si ha $\frac{316}{90} = \frac{158}{45}$ ; se si ignora la parte intera si ha $\frac{(16 - 1)}{90} = \frac{1}{6}$ ; con denominatore $99$ si ha $\frac{285}{99} = \frac{95}{33}$ .
Quale denominatore ha la frazione generatrice di $0,12 45$ , prima della riduzione?
- A $990$
- B $9900$
- C $9999$
- D $99$
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Risposta giusta: B. $9900$
Il periodo $45$ ha due cifre, quindi due $9$ ; l'antiperiodo $12$ ha due cifre, quindi due $0$ dopo i $9$ : $9900$ . Con un solo zero si ha $990$ ; contando tutte le cifre decimali come periodo si ha $9999$ ; senza gli zeri dell'antiperiodo si ha $99$ .
Per controllare che $\frac{1}{6}$ sia la frazione generatrice di $0,1 6$ , che cosa si fa?
- A Si calcola $6 : 1$ e si ottiene $6$
- B Si calcola $1 : 6$ e si ottiene $0,16$
- C Si calcola $1 : 6$ e si ottiene $0,1 6$
- D Si calcola $1 \cdot 6$ e si ottiene $6$
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Risposta giusta: C. Si calcola $1 : 6$ e si ottiene $0,1 6$
La verifica è la divisione del numeratore per il denominatore: $1 : 6 = 0,1666…$ , cioè $0,1 6$ , il numero di partenza. Dividere $6 : 1$ inverte i termini; $0,16$ ferma la divisione troppo presto e perde la barra; $1 \cdot 6$ è una moltiplicazione, non la verifica.
Qual è la frazione generatrice di $0,33$ , senza barra sul $3$ ?
- A $\frac{33}{100}$
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{33}{90}$
- D $\frac{3}{10}$
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Risposta giusta: A. $\frac{33}{100}$
Senza barra $0,33$ è un decimale limitato con due cifre decimali: $\frac{33}{100}$ . La frazione $\frac{1}{3}$ è la generatrice di $0, 3$ , in cui il $3$ si ripete senza fine; $\frac{33}{90}$ vale $0,3666…$ ; $\frac{3}{10}$ vale $0,3$ .

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