Matematica · 2ª media · Lezione 1 di 2

Dalla frazione al numero decimale

Dividere numeratore per denominatore e riconoscere risultati interi, limitati e periodici.

Teoria in pillole

Una frazione e il suo quoziente sono due scritture dello stesso numero. Come si passa dalla frazione alla scrittura decimale? Si divide il numeratore per il denominatore, che deve essere diverso da zero, e si seguono i resti.

La frazione è un quoziente

Per trovare il numero rappresentato da una frazione si divide il numeratore per il denominatore. Il denominatore deve essere diverso da zero.

$\frac{9}{4} = 9 : 4$

Numeratore: dividendo. Denominatore: divisore. Risultato: quoziente.

Numero decimale limitato

La divisione termina quando il resto diventa zero. Le cifre decimali sono in numero finito. Per $\frac{3}{8}$ la parte intera è $0$ : il resto iniziale è $3$ . Si moltiplica ogni resto per $10$ e si divide ancora per $8$ , ottenendo una cifra alla volta.

$\frac{3}{8} = 0,375$

Le cifre ottenute sono 3, poi 7, poi 5. L’ultimo resto è zero.

Numero periodico semplice

Se un resto diverso da zero ricompare, da quel punto si ripetono le stesse cifre. Il periodo è il più piccolo blocco di cifre che si ripete senza fine; una barra lo indica. Nel periodico semplice il periodo comincia subito dopo la virgola.

$\frac{2}{3} = 0, 6$

La cifra 6 si ripete: 0,666… . Dopo ogni cifra ricompare il resto 2.

Numero periodico misto

Prima del periodo possono comparire cifre decimali che non fanno parte del blocco ripetuto: formano l’antiperiodo. Nel periodico misto l’antiperiodo è presente. La parte intera, prima della virgola, non è l’antiperiodo.

$\frac{7}{12} = 0,58 3$

Parte intera 0; antiperiodo 58; periodo 3. La barra riguarda soltanto il 3.

Risultato intero

Se il numeratore è un multiplo del denominatore, il resto è zero già dopo la parte intera. Non occorre aggiungere cifre decimali.

$\frac{6}{3} = 2$

Il quoziente è un intero. Non si deve cercare un periodo.

Numeratore zero

Zero diviso un numero diverso da zero dà zero. Anche questo è un risultato intero.

$\frac{0}{5} = 0$

Il denominatore resta diverso da zero anche quando il numeratore è zero.

Si calcola prima la parte intera e il resto. Per ogni cifra decimale si moltiplica il resto per $10$ e si divide per lo stesso denominatore.
Un resto zero conclude il calcolo; un resto già incontrato indica che il blocco di cifre si ripeterà. Stesso resto e stesso divisore producono la stessa cifra successiva e lo stesso nuovo resto.
Le cifre sotto la barra si ripetono tutte, nell’ordine. In $0, 27$ si ripete il blocco $27$ , non soltanto il $7$ .

Non scambiare l’ordine della divisione e non mettere una barra sopra tutto il numero. Per $\frac{7}{12}$ il risultato corretto è $0,58 3$ : scrivere $0, 583$ indica invece $0,583583…$ , un altro numero. Fermarsi a $0,583$ dà un’approssimazione, non la frazione esatta.

La mappa

Sintesi dei casi con esempi. Apri la mappa completa per seguire tutti i rami.

Mappa mentale: Dalla frazione al numero decimale

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Simulazioni

Dalla frazione al decimale: Scegli una frazione e scopri una cifra alla volta, seguendo i resti fino al risultato esatto.

Domande

Quale divisione trasforma $\frac{5}{4}$ nel suo numero decimale?
- A $4 : 5$
- B $5 \cdot 4$
- C $5 : 4$
- D $5 - 4$
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Risposta giusta: C. $5 : 4$
Il numeratore è il dividendo e il denominatore il divisore. $4 : 5$ inverte i termini; prodotto e differenza sono operazioni diverse dalla divisione.
Qual è la scrittura decimale esatta di $\frac{7}{8}$ ?
- A $0,875$
- B $0,78$
- C $0,87$
- D $1,142857…$
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Risposta giusta: A. $0,875$
La divisione produce 8, poi 7, poi 5: $70 = 8 \cdot 8 + 6$ , $60 = 8 \cdot 7 + 4$ , $40 = 8 \cdot 5$ . Il resto finale è zero. $0,78$ accosta i termini; $0,87$ omette l’ultima cifra. Il quoziente $8 : 7$ comincia invece con $1,142857…$ .
Quale frazione è uguale al numero intero $3$ ?
- A $\frac{3}{12}$
- B $\frac{4}{12}$
- C $\frac{12}{3}$
- D $\frac{12}{4}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{12}{4}$
$12 : 4 = 3$ . Per gli altri casi si ottengono $0,25$ , $0, 3$ e $4$ : avere un 3 fra i termini non basta.
La divisione $4 : 9$ dà $0,444…$ . Come si classifica?
- A Decimale limitato
- B Periodico semplice
- C Periodico misto
- D Numero intero
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Risposta giusta: B. Periodico semplice
Il periodo 4 inizia subito dopo la virgola: la scrittura è $0, 4$ . Non c’è antiperiodo e le cifre decimali non terminano.
Nel numero $2,71 6$ , quale coppia indica antiperiodo e periodo?
- A Antiperiodo 2; periodo 716
- B Antiperiodo 7; periodo 16
- C Antiperiodo 716; periodo 6
- D Antiperiodo 71; periodo 6
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Risposta giusta: D. Antiperiodo 71; periodo 6
Le cifre decimali prima della barra sono 71 e costituiscono l’antiperiodo. Sotto la barra c’è solo 6. La parte intera 2 non appartiene né al periodo né all’antiperiodo.
Stai dividendo $3$ per $8$ . Dopo la prima cifra decimale, il resto è $6$ . Quale cifra viene dopo?
- A $6$
- B $0$
- C $7$
- D $8$
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Risposta giusta: C. $7$
Si calcola $6 \cdot 10 = 60$ e si divide per $8$ : $60 = 8 \cdot 7 + 4$ . La cifra è 7, il nuovo resto è 4. Copiare il resto 6 al posto della cifra non esegue la nuova divisione.
Dopo una cifra decimale ricompare un resto diverso da zero già incontrato. Che cosa puoi concludere?
- A Il quoziente è intero
- B Da quel resto si ripeterà un blocco di cifre
- C Il denominatore diventa zero
- D Il calcolo termina con quella cifra
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Risposta giusta: B. Da quel resto si ripeterà un blocco di cifre
Ripartendo dallo stesso resto e dividendo per lo stesso denominatore, si ottengono la stessa cifra e lo stesso resto successivo. La sequenza ricomincia: il risultato è periodico, non concluso.
Qual è il valore di $\frac{0}{7}$ ?
- A $0$
- B $7$
- C Non si può calcolare
- D $0, 7$
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Risposta giusta: A. $0$
$0 : 7 = 0$ : il numeratore può essere zero. È il denominatore che non può essere zero. Il risultato è intero e non ha un periodo da indicare.

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