Matematica · 2ª media · Lezione 10 di 10

Percentuali nei miscugli

La concentrazione percentuale in un miscuglio: il componente si confronta con tutta la soluzione, non con l'altro ingrediente.

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Teoria in pillole

Nei miscugli la percentuale descrive quanta parte di una sostanza è presente rispetto alla quantità totale della miscela.

$c = \frac{q_{c}}{q_{t}} \cdot 100 %$

q_{c}

è la quantità del componente e

q_{t}

quella totale, con unità compatibili

La concentrazione percentuale confronta la quantità del componente con l'intero miscuglio, non con gli altri componenti.
Prima somma le parti quando il totale non è già fornito.

Non confrontare grammi con millilitri senza una relazione che li colleghi: il rapporto richiede grandezze compatibili.

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Domande

Per un esperimento si mescolano $30$ g di sale e $120$ g di acqua. Qual è la percentuale di sale nell'acqua salata?
- A Il $25 %$
- B Il $20 %$
- C Il $30 %$
- D Il $80 %$
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Risposta giusta: B. Il $20 %$
Il miscuglio pesa $30 + 120 = 150$ g, quindi $\frac{30}{150} = 0,2 = 20 %$ . Il $25 %$ è l'errore tipico: viene da $\frac{30}{120}$ , cioè dal confronto con la sola acqua invece che con tutta la soluzione.
Nello stesso esperimento, qual è la quantità da usare come totale?
- A $120$ g, la massa dell'acqua
- B $30$ g, la massa del sale
- C $150$ g, la massa dell'acqua salata
- D $100$ g, perché le percentuali si calcolano su cento
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Risposta giusta: C. $150$ g, la massa dell'acqua salata
Il totale è tutto il miscuglio, cioè la somma dei componenti: $150$ g. La concentrazione dice quanta parte della soluzione è occupata dal componente, quindi il denominatore deve comprendere anche il componente stesso.
Un compagno calcola $\frac{30}{120}$ e ottiene il $25 %$ . Che cosa ha sbagliato?
- A Ha usato come totale solo l'acqua, dimenticando il sale
- B Ha invertito numeratore e denominatore
- C Ha dimenticato di moltiplicare per $100$
- D Ha sommato invece di dividere
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Risposta giusta: A. Ha usato come totale solo l'acqua, dimenticando il sale
$120$ g è il solo solvente, non la soluzione. Il sale fa parte del miscuglio e va contato anche al denominatore: $\frac{30}{150}$ . È un errore che passa inosservato perché il risultato sembra ragionevole, ma la definizione di concentrazione è chiara.
Si sciolgono $20$ g di zucchero in $180$ g di acqua. Qual è la concentrazione percentuale di zucchero?
- A Il $20 %$
- B Il $11,1 %$
- C Il $10 %$
- D Il $90 %$
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Risposta giusta: C. Il $10 %$
Il totale è $20 + 180 = 200$ g, quindi $\frac{20}{200} = 0,1 = 10 %$ . $11,1 %$ verrebbe da $\frac{20}{180}$ , di nuovo con la sola acqua come denominatore; $90 %$ è la percentuale di acqua, cioè l'altra parte del miscuglio.
In una soluzione, come si chiamano rispettivamente la sostanza sciolta e quella che la scioglie?
- A Soluto e solvente
- B Solvente e soluto
- C Miscuglio e concentrazione
- D Parte e totale
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Risposta giusta: A. Soluto e solvente
Il soluto è la sostanza sciolta (il sale), il solvente è quella che scioglie (l'acqua); insieme formano la soluzione. Nel calcolo, il soluto è la parte e la soluzione intera è il totale.
Una soluzione di $150$ g contiene sale al $20 %$ . Quanti grammi di sale contiene?
- A $20$ g
- B $30$ g
- C $120$ g
- D $7,5$ g
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Risposta giusta: B. $30$ g
$150 \cdot 0,2 = 30$ g di sale, e i restanti $120$ g sono acqua. È il problema inverso rispetto al primo: qui la concentrazione è nota e si cerca la quantità del componente, quindi si moltiplica.
Alla soluzione di sale al $20 %$ si aggiunge altra acqua, senza aggiungere sale. Che cosa succede alla concentrazione?
- A Aumenta, perché la soluzione è più abbondante
- B Diminuisce, perché il totale cresce e il sale resta lo stesso
- C Resta uguale, perché il sale non è cambiato
- D Diventa il $100 %$
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Risposta giusta: B. Diminuisce, perché il totale cresce e il sale resta lo stesso
La concentrazione è un rapporto: se il numeratore resta $30$ g e il denominatore cresce, il rapporto cala. Aggiungendo $50$ g di acqua si arriva a $\frac{30}{200} = 15 %$ . È il motivo per cui una soluzione «si diluisce» aggiungendo solvente.
Perché non si può calcolare direttamente la concentrazione di una soluzione fatta con $30$ g di sale e $120$ mL di acqua?
- A Perché il sale non si scioglie completamente
- B Perché grammi e millilitri sono grandezze diverse e non si sommano
- C Perché mancano i dati sulla temperatura
- D Perché il totale deve essere $100$
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Risposta giusta: B. Perché grammi e millilitri sono grandezze diverse e non si sommano
Per fare il rapporto servono grandezze compatibili: massa con massa, oppure volume con volume. Con l'acqua si può convertire ( $1$ mL corrisponde a circa $1$ g), ma la conversione va fatta esplicitamente, non data per scontata.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Percentuali: Sei livelli progressivi, dal significato di percentuale ai problemi da riconoscere, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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