Esercitazione con le percentuali

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1. Alla corsa della scuola partono $64$ alunni e $40$ arrivano al traguardo. Quale percentuale completa la corsa?

   • A Il $40\%$
   • B Il $\mathrm{62,5}\%$
   • C Il $\mathrm{37,5}\%$
   • D Il $160\%$
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   Risposta giusta: B. Il $\mathrm{62,5}\%$

   $\frac{40}{64}=\mathrm{0,625}=\mathrm{62,5}\%$. Il $\mathrm{37,5}\%$ è la percentuale di chi si ritira, cioè la risposta alla domanda opposta; $160\%$ è il rapporto invertito ($\frac{64}{40}$); $40\%$ scambia il numero di alunni con la percentuale.

2. Qual è il primo passo da compiere davanti a un problema percentuale?

   • A Eseguire subito la divisione fra i due numeri
   • B Identificare parte, totale e dato cercato
   • C Trasformare tutti i numeri in decimali
   • D Cercare il simbolo % nel testo
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   Risposta giusta: B. Identificare parte, totale e dato cercato

   Chi comincia dai calcoli sceglie l'operazione a caso e spesso indovina. Dichiarare «la parte è $40$, il totale è $64$, cerco una percentuale» rende il resto meccanico e permette anche di controllare il risultato alla fine.

3. Il $50\%$ di $64$ è $32$ e il $75\%$ è $48$. Sapendo che gli arrivati sono $40$, fra quali percentuali deve stare il risultato?

   • A Fra $0\%$ e $50\%$
   • B Fra $50\%$ e $75\%$
   • C Fra $75\%$ e $100\%$
   • D Sopra il $100\%$
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   Risposta giusta: B. Fra $50\%$ e $75\%$

   $40$ sta fra $32$ e $48$, quindi la percentuale sta fra $50\%$ e $75\%$: il risultato $\mathrm{62,5}\%$ è credibile. Costruire due valori di confronto prima del calcolo è il modo più rapido per accorgersi di un errore grosso.

4. Che cosa manca al numero $\mathrm{62,5}$ per essere una risposta completa?

   • A Niente: il numero basta
   • B Il simbolo % e una frase che dica di che cosa si parla
   • C L'arrotondamento a numero intero
   • D L'indicazione del totale
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   Risposta giusta: B. Il simbolo % e una frase che dica di che cosa si parla

   «Il $\mathrm{62,5}\%$ degli alunni completa la corsa» è una risposta; «$\mathrm{62,5}$» è solo un numero. La frase costringe a ricontrollare che si stia rispondendo alla domanda posta, e rende visibile se si è calcolata la grandezza sbagliata.

5. Nella stessa corsa, quale percentuale di alunni non arriva al traguardo?

   • A Il $24\%$
   • B Il $\mathrm{62,5}\%$
   • C Il $\mathrm{37,5}\%$
   • D Il $60\%$
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   Risposta giusta: C. Il $\mathrm{37,5}\%$

   Gli alunni che non arrivano sono $64-40=24$, quindi $\frac{24}{64}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\%$. Si può anche ragionare per differenza: $100\%-\mathrm{62,5}\%=\mathrm{37,5}\%$. Le due strade devono coincidere, ed è un ottimo controllo.

6. In una gara diversa partono $80$ alunni e ne arriva il $70\%$. Quanti alunni arrivano?

   • A $70$ alunni
   • B $56$ alunni
   • C $24$ alunni
   • D $\mathrm{5,6}$ alunni
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   Risposta giusta: B. $56$ alunni

   Qui la percentuale è nota e manca la quantità: $80·\mathrm{0,7}=56$ alunni. È il tipo di problema opposto a quello della corsa precedente, e si riconosce dalla domanda «quanti alunni» invece di «quale percentuale». $24$ è chi non arriva e $\mathrm{5,6}$ nasce da $\mathrm{0,07}$ al posto di $\mathrm{0,7}$: una virgola spostata dà un numero di alunni che nemmeno esiste.

7. Un compagno calcola $\frac{64}{40}$ e ottiene $\mathrm{1,6}$, poi risponde «$160\%$». Che cosa gli dici?

   • A Che ha ragione, ma deve arrotondare
   • B Che ha invertito parte e totale: nessuna parte può superare il proprio totale
   • C Che doveva moltiplicare invece di dividere
   • D Che il risultato va diviso per $2$
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   Risposta giusta: B. Che ha invertito parte e totale: nessuna parte può superare il proprio totale

   Gli arrivati sono un sottoinsieme dei partenti, quindi la percentuale non può superare il $100\%$. Un risultato sopra il $100\%$ in un problema «parte su totale» è quasi sempre il segnale che la frazione è capovolta.

8. Quale controllo finale conviene fare sempre, qualunque sia il problema percentuale?

   • A Tornare alla situazione di partenza e chiedersi se il risultato è possibile
   • B Rifare lo stesso calcolo una seconda volta
   • C Verificare che il risultato sia un numero intero
   • D Controllare di avere usato la calcolatrice
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   Risposta giusta: A. Tornare alla situazione di partenza e chiedersi se il risultato è possibile

   Rifare lo stesso calcolo ripete anche lo stesso errore. Tornare alla situazione — «possono $40$ alunni su $64$ essere il $160\%$?» — usa il buon senso come verifica, ed è l'unico controllo che intercetta gli errori di impostazione, non solo quelli di conto.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

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