Matematica · 3ª media · Lezione 13 di 13

Somma per differenza

Attività su «Somma per differenza» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

La somma per differenza è il terzo prodotto notevole: quando si moltiplica la somma di due monomi per la loro differenza, il risultato è la differenza dei loro quadrati. I due prodotti incrociati sono opposti e si annullano, e per questo il risultato ha due termini soli invece di tre.

La formula

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

svolgendo per esteso verrebbe

a^{2} - a b + a b - b^{2}

: i due termini di mezzo sono opposti e la loro somma è

0

Al contrario

$x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

una differenza di due quadrati si può sempre riscrivere come prodotto: qui

x^{2}

è il quadrato di

x

9

è il quadrato di

3

Per calcolare a mente

$49 \cdot 51 = 50^{2} - 1^{2}$

i due numeri sono uno sotto e uno sopra

50

della stessa quantità: il conto diventa

2 500 - 1 = 2 499

Le due figure hanno la stessa area, disegnata in due modi. A sinistra il quadrato di lato $a$ a cui è stato tolto il quadratino di lato $b$ : è $a^{2} - b^{2}$ . A destra un rettangolo di lati $a + b$ e $a - b$ , che si ottiene tagliando la parte sporgente della prima figura e spostandola: è $(a + b) (a - b)$ . Stessa superficie, quindi stesso valore.

L'ordine dei due fattori non conta: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ allo stesso modo. Quello che conta è che i due monomi siano gli stessi e che un segno sia più e l'altro meno.
Con i coefficienti il quadrato riguarda tutto il termine: $(3 x + 2) (3 x - 2) = 9 x^{2} - 4$ .
La formula non si applica a $(a + b) (a + b)$ , che è un quadrato di binomio, né a $(a + b) (c - b)$ , dove i monomi non sono gli stessi: in quei casi si svolge con la proprietà distributiva.
Altro calcolo a mente: $98 \cdot 102 = 100^{2} - 2^{2}$ , cioè $10 000 - 4 = 9 996$ .

Prima di applicare la formula bisogna controllare che la struttura sia davvero quella: gli stessi due monomi, una volta sommati e una volta sottratti. $(2 x + 5) (2 x - 3)$ somiglia a una somma per differenza ma non lo è, perché $5$ e $3$ sono diversi, e va svolta per esteso. E il risultato è una differenza: il quadrato del secondo monomio va sottratto, quindi $(x + 3) (x - 3)$ fa $x^{2} - 9$ , non $x^{2} + 9$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione in algebra (PhET, sito esterno): Prova a confrontare il modello di una somma per differenza con il quadrato corrispondente e osserva come i termini misti si eliminano.

Domande

Calcola $(x + 6) (x - 6)$ .
- A $x^{2} - 12 x + 36$
- B $x^{2} + 36$
- C $x^{2} - 6 x - 36$
- D $x^{2} - 36$
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Risposta giusta: D. $x^{2} - 36$
I binomi hanno gli stessi termini con segno opposto, dunque è una somma per differenza: $x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36$ . Il distrattore $x^{2} - 12 x + 36$ nasce dall'applicare invece la formula del quadrato di una differenza.
Sviluppa $(3 a + b) (3 a - b)$ .
- A $6 a^{2} - b^{2}$
- B $9 a^{2} - b$
- C $9 a^{2} - b^{2}$
- D $9 a^{2} - 6 a b + b^{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $9 a^{2} - b^{2}$
Il primo termine è $3 a$ , quindi il suo quadrato è $9 a^{2}$ ; il secondo quadrato è $b^{2}$ . Si ottiene $9 a^{2} - b^{2}$ . Il distrattore $6 a^{2} - b^{2}$ nasce dal moltiplicare 3 per 2 invece di calcolare ${(3 a)}^{2}$ .
Quale prodotto dà $y^{2} - 16$ ?
- A $(y + 4) (y - 4)$
- B ${(y - 4)}^{2}$
- C $(y + 16) (y - 16)$
- D $(y + 8) (y - 8)$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $(y + 4) (y - 4)$
$16 = 4^{2}$ , quindi $y^{2} - 16 = (y + 4) (y - 4)$ . Il distrattore ${(y - 4)}^{2}$ nasce dal vedere una differenza e applicare il quadrato di un binomio, che darebbe $y^{2} - 8 y + 16$ .
Calcola $(2 m - 5) (2 m + 5)$ .
- A $4 m^{2} - 20 m + 25$
- B $4 m^{2} - 25 m$
- C $4 m^{2} - 25$
- D $2 m^{2} - 25$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $4 m^{2} - 25$
È la differenza fra i quadrati di $2 m$ e 5: ${(2 m)}^{2} - 5^{2} = 4 m^{2} - 25$ . Il distrattore $4 m^{2} - 20 m + 25$ nasce dalla formula del quadrato di una differenza, che non si applica qui.
Quale espressione è una somma per differenza?
- A $(p + q) (p + q)$
- B $(p + q) (p - q)$
- C $(p + q) (p - 2 q)$
- D $(p - q) (p - q)$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $(p + q) (p - q)$
Servono gli stessi due termini, una volta con il più e una con il meno: $(p + q) (p - q)$ . Il distrattore $(p + q) (p - 2 q)$ non ha lo stesso secondo termine, quindi la formula non vale e si dovrebbe usare la distributiva.
Usa la somma per differenza per calcolare $49 \cdot 51$ .
- A $2 499$
- B $2 500$
- C $2 401$
- D $2 601$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $2 499$
$49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 50^{2} - 1^{2} = 2 500 - 1 = 2 499$ . Il distrattore $2 500$ nasce dal calcolare il quadrato del numero centrale ma dal dimenticare di sottrarre $1^{2}$ .
Sviluppa $(a + 3 b) (a - 3 b)$ .
- A $a^{2} - 6 a b + 9 b^{2}$
- B $a^{2} - 3 b^{2}$
- C $a^{2} - 9 a b^{2}$
- D $a^{2} - 9 b^{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $a^{2} - 9 b^{2}$
Il risultato è $a^{2} - {(3 b)}^{2} = a^{2} - 9 b^{2}$ . Il distrattore $a^{2} - 3 b^{2}$ nasce dal non elevare al quadrato il coefficiente 3 del secondo termine.
Calcola $(2 x + y) (2 x - y)$ .
- A $4 x^{2} - 4 x y + y^{2}$
- B $4 x^{2} - y^{2}$
- C $2 x^{2} - y^{2}$
- D $4 x^{2} + y^{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $4 x^{2} - y^{2}$
La somma per differenza dà ${(2 x)}^{2} - y^{2} = 4 x^{2} - y^{2}$ . Il distrattore $4 x^{2} - 4 x y + y^{2}$ nasce dall'usare il quadrato di una differenza invece del prodotto di due binomi con segni opposti.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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