Il calcolo letterale · 3ª media

Di che cosa parla il capitolo

Nel calcolo letterale si calcola con le lettere al posto dei numeri. Una lettera sta per un numero qualsiasi, così una formula sola dice quello che altrimenti andrebbe ripetuto caso per caso: $2 \cdot (b + h)$ è il perimetro di ogni rettangolo, non di uno solo. Le regole del calcolo non cambiano: cambia il fatto che il risultato resta scritto con le lettere.

Quadrato di un binomio

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

le due scorciatoie che il capitolo costruisce per prime: cambia solo il segno del doppio prodotto

Somma per differenza

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

la terza scorciatoia: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è la differenza dei loro quadrati

Il capitolo si percorre in quattro tappe.

I monomi. Che cosa sono, come si riconoscono coefficiente, parte letterale e grado, e quando due monomi si possono sommare. Si impara che $3 x + 2 x$ si riduce a $5 x$ , mentre $3 x + 2 x^{2}$ resta com'è.
I polinomi. Somme di più monomi: come si riducono, come si ordinano, qual è il loro grado. Il grado di $5 x^{3} - 2 x + 7$ è $3$ , quello del termine più alto.
Le operazioni. Somma, differenza, prodotto e divisione fra polinomi. Il prodotto si fa termine per termine; nella divisione si distingue sempre se si sta dividendo una somma (si divide tutto) o un prodotto (si divide un fattore solo).
I prodotti notevoli e il raccoglimento. Tre prodotti si calcolano a memoria con una formula, e la stessa formula letta al contrario permette di trasformare una somma in un prodotto: $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ .

Alla fine del capitolo si sa scrivere una situazione con le lettere, semplificare l'espressione che ne esce e riconoscere quando conviene una scorciatoia invece del calcolo per esteso. È il passo che serve subito dopo, quando le espressioni letterali diventano equazioni.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

Quiz di fine capitolo

Quale coppia è formata da monomi simili?
- A $5 a^{2} b$ e $5 a b^{2}$
- B $5 a^{2} b$ e $- 3 a^{2} b$
- C $4 x$ e $4 x^{2}$
- D $2 a b$ e $2 a c$
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Risposta giusta: B. $5 a^{2} b$ e $- 3 a^{2} b$
Sono simili i monomi con la stessa parte letterale, esponenti compresi: $5 a^{2} b$ e $- 3 a^{2} b$ hanno entrambi $a^{2} b$ . Scambiare gli esponenti, come in $a^{2} b$ e $a b^{2}$ , produce invece due parti letterali diverse.
Calcola: $(\frac{3}{4}) x^{2} : ((\frac{1}{2}) x)$
- A $(\frac{3}{8}) x^{2}$
- B $(\frac{2}{3}) x$
- C $(\frac{3}{2}) x^{2}$
- D $(\frac{3}{2}) x$
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Risposta giusta: D. $(\frac{3}{2}) x$
Dividere per $\frac{1}{2}$ significa moltiplicare per 2: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Per la parte letterale, $x^{2} : x = x$ . Chi ottiene $\frac{3}{8}$ moltiplica per il divisore invece di usare il suo inverso.
Qual è il grado del polinomio $4 x^{3} - 2 x^{5} + 7$ ?
- A 5
- B 3
- C 8
- D 7
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Risposta giusta: A. 5
Il grado di un polinomio è il grado più alto dei suoi termini non nulli: qui compare $x^{5}$ , quindi il grado è 5. Sommare 3 e 5 per ottenere 8 confonde il grado del polinomio con una somma di esponenti che non va eseguita.
Semplifica: $(3 x^{2} - x + 4) - (x^{2} + 2 x - 5)$
- A $2 x^{2} + x - 1$
- B $4 x^{2} + x - 1$
- C $2 x^{2} - 3 x + 9$
- D $2 x^{2} - 3 x - 1$
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Risposta giusta: C. $2 x^{2} - 3 x + 9$
Il segno meno cambia tutti i termini della seconda parentesi: $3 x^{2} - x + 4 - x^{2} - 2 x + 5$ . Riducendo si ottiene $2 x^{2} - 3 x + 9$ . Il risultato con termine noto −1 nasce dal non cambiare il segno di −5.
Sviluppa: $- 2 a (3 a - 4)$
- A $- 6 a^{2} - 8 a$
- B $- 6 a + 8$
- C $6 a^{2} - 8 a$
- D $- 6 a^{2} + 8 a$
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Risposta giusta: D. $- 6 a^{2} + 8 a$
$- 2 a$ moltiplica entrambi i termini: $- 2 a \cdot 3 a = - 6 a^{2}$ e $- 2 a \cdot (- 4) = + 8 a$ . Scrivere $- 6 a^{2} - 8 a$ significa perdere il segno positivo prodotto da meno per meno.
Quale raccoglimento è corretto per $8 x^{3} - 12 x^{2}$ ?
- A $4 x^{2} (2 x - 3)$
- B $4 x (2 x - 3)$
- C $2 x^{2} (4 x - 12)$
- D $4 x^{3} (2 - 3 x)$
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Risposta giusta: A. $4 x^{2} (2 x - 3)$
Il massimo fattore comune è $4 x^{2}$ : dividendo i due termini si ottengono $2 x$ e −3, quindi $4 x^{2} (2 x - 3)$ . Con $4 x (2 x - 3)$ la distribuzione restituisce $8 x^{2} - 12 x$ , non l'espressione iniziale.
Sviluppa: ${(2 x - 3)}^{2}$
- A $4 x^{2} + 9$
- B $2 x^{2} - 12 x + 9$
- C $4 x^{2} - 12 x + 9$
- D $4 x^{2} - 6 x + 9$
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Risposta giusta: C. $4 x^{2} - 12 x + 9$
Quadrato del primo termine, doppio prodotto negativo e quadrato del secondo: ${(2 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ . La risposta $4 x^{2} + 9$ dimentica completamente il doppio prodotto.
Calcola con la somma per differenza: $(5 y + 2) (5 y - 2)$
- A $25 y^{2} + 4$
- B $25 y^{2} - 4$
- C $5 y^{2} - 4$
- D $25 y^{2} - 20 y + 4$
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Risposta giusta: B. $25 y^{2} - 4$
I binomi contengono gli stessi termini con segni opposti, quindi resta la differenza dei quadrati: ${(5 y)}^{2} - 2^{2} = 25 y^{2} - 4$ . Il termine −20y appartiene al quadrato di una differenza, non alla somma per differenza.