Operazioni con monomi a coefficienti frazionari

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Calcola $\left(\frac{1}{2}\right)x·\left(\frac{3}{5}\right)x^2$.

   • A $\left(\frac{3}{10}\right)x^2$
   • B $\left(\frac{4}{7}\right)x^3$
   • C $\left(\frac{3}{10}\right)x^3$
   • D $\left(\frac{3}{7}\right)x^3$
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   Risposta giusta: C. $\left(\frac{3}{10}\right)x^3$

   Per i coefficienti: $\left(\frac{1}{2}\right)·\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{10}$; per la parte letterale: $x·x^2=x^3$. Il risultato è $\left(\frac{3}{10}\right)x^3$. $\left(\frac{3}{10}\right)x^2$ nasce dal calcolo corretto della frazione ma dal non aggiungere l'esponente $1$ della prima $x$.

2. Calcola $\left(\frac{3}{4}\right)a^2·\left(-\frac{2}{3}\right)a$.

   • A $\left(\frac{1}{2}\right)a^3$
   • B $-\left(\frac{1}{2}\right)a^2$
   • C $-\left(\frac{6}{7}\right)a^3$
   • D $-\left(\frac{1}{2}\right)a^3$
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   Risposta giusta: D. $-\left(\frac{1}{2}\right)a^3$

   I coefficienti danno $\left(\frac{3}{4}\right)·\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$ e $a^2·a=a^3$, quindi $-\left(\frac{1}{2}\right)a^3$. $\left(\frac{1}{2}\right)a^3$ deriva dal capovolgere il segno del prodotto: un fattore è negativo, perciò il risultato deve essere negativo.

3. Calcola $\left(\frac{5}{6}\right)x^3:\left(\frac{5}{9}\right)x$.

   • A $\left(\frac{25}{54}\right)x^2$
   • B $\left(\frac{3}{2}\right)x^2$
   • C $\left(\frac{3}{2}\right)x^3$
   • D $\left(\frac{1}{6}\right)x^2$
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   Risposta giusta: B. $\left(\frac{3}{2}\right)x^2$

   Nella divisione si moltiplica per l'inverso: $\left(\frac{5}{6}\right):\left(\frac{5}{9}\right)=\left(\frac{5}{6}\right)·\left(\frac{9}{5}\right)=\frac{3}{2}$, mentre $x^3:x=x^2$. Quindi $\left(\frac{3}{2}\right)x^2$. $\left(\frac{25}{54}\right)x^2$ nasce dal moltiplicare direttamente $\left(\frac{5}{6}\right)·\left(\frac{5}{9}\right)$, come se l'operazione fosse un prodotto invece di una divisione.

4. Calcola $\left(-\frac{4}{5}\right)a^{2}b:\left(\frac{2}{3}\right)ab$.

   • A $-\left(\frac{6}{5}\right)a^2$
   • B $-\left(\frac{2}{15}\right)ab$
   • C $-\left(\frac{6}{5}\right)a$
   • D $\left(\frac{6}{5}\right)a$
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   Risposta giusta: C. $-\left(\frac{6}{5}\right)a$

   Il coefficiente è $\left(-\frac{4}{5}\right)·\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{6}{5}$; inoltre $a^2:a=a$ e $b:b=1$. Rimane $-\left(\frac{6}{5}\right)a$. $-\left(\frac{6}{5}\right)a^2$ nasce dal dividere correttamente il coefficiente ma dimenticare che $a^2:a=a$.

5. Calcola $\left(\frac{2}{3}\right)x·\frac{9}{4}$.

   • A $\left(\frac{3}{2}\right)x$
   • B $\left(\frac{11}{7}\right)x$
   • C $\left(\frac{18}{12}\right)x^2$
   • D $\left(\frac{1}{6}\right)x$
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   Risposta giusta: A. $\left(\frac{3}{2}\right)x$

   Si moltiplicano i coefficienti: $\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{9}{4}\right)=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$, e resta $x$. Il risultato è $\left(\frac{3}{2}\right)x$. $\left(\frac{18}{12}\right)x^2$ nasce dall'aggiungere un esponente a $x$ anche se il secondo fattore non contiene alcuna $x$.

6. Calcola $\left(\frac{7}{8}\right)y^2:\left(-\frac{7}{4}\right)y$.

   • A $\left(\frac{1}{2}\right)y$
   • B $-\left(\frac{7}{32}\right)y$
   • C $-\left(\frac{1}{2}\right)y^2$
   • D $-\left(\frac{1}{2}\right)y$
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   Risposta giusta: D. $-\left(\frac{1}{2}\right)y$

   $\left(\frac{7}{8}\right):\left(-\frac{7}{4}\right)=\left(\frac{7}{8}\right)·\left(-\frac{4}{7}\right)=-\frac{1}{2}$ e $y^2:y=y$, perciò $-\left(\frac{1}{2}\right)y$. $-\left(\frac{1}{2}\right)y^2$ viene dall'aver usato l'inverso correttamente ma non sottratto l'esponente $1$ del divisore.

7. Calcola $\left(\frac{3}{5}\right)a^{2}b·\left(\frac{10}{9}\right)a{b}^2$.

   • A $\left(\frac{2}{3}\right)a^3{b}^3$
   • B $\left(\frac{30}{45}\right)a^2{b}^2$
   • C $\left(\frac{13}{14}\right)a^3{b}^3$
   • D $\left(\frac{2}{3}\right)a^2{b}^2$
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   Risposta giusta: A. $\left(\frac{2}{3}\right)a^3{b}^3$

   Per il coefficiente, $\left(\frac{3}{5}\right)·\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$; poi $a^2·a=a^3$ e $b·b^2=b^3$. Risulta $\left(\frac{2}{3}\right)a^3{b}^3$. $\left(\frac{2}{3}\right)a^2{b}^2$ nasce dal lasciare invariati gli esponenti invece di sommarli nel prodotto.

8. Calcola $\left(\frac{2}{3}\right)x^4:\left(-\frac{4}{9}\right)x^2$.

   • A $-\left(\frac{8}{27}\right)x^2$
   • B $-\left(\frac{3}{2}\right)x^2$
   • C $\left(\frac{3}{2}\right)x^2$
   • D $-\left(\frac{3}{2}\right)x^6$
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   Risposta giusta: B. $-\left(\frac{3}{2}\right)x^2$

   Si usa l'inverso del divisore: $\left(\frac{2}{3}\right):\left(-\frac{4}{9}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)·\left(-\frac{9}{4}\right)=-\frac{3}{2}$; inoltre $x^4:x^2=x^2$. Il risultato è $-\left(\frac{3}{2}\right)x^2$. $-\left(\frac{8}{27}\right)x^2$ nasce dal moltiplicare direttamente $\left(\frac{2}{3}\right)·\left(-\frac{4}{9}\right)$, come se l'operazione fosse un prodotto.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.