Matematica · 3ª media · Lezione 4 di 13

Polinomi

Attività su «Polinomi» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Un polinomio è la somma algebrica di più monomi, che si chiamano termini del polinomio. I termini formati da una sola costante si chiamano termini noti. Un polinomio con due termini è un binomio, con tre termini un trinomio.

Ridurre a forma normale

$4 x + 5 - x + 2$

$3 x + 7$

si sommano fra loro i termini simili, finché non ne restano due dello stesso tipo. Un polinomio è in forma normale quando la riduzione è finita

Grado

$5 x^{3} - 2 x + 7$ ha grado $3$

il grado del polinomio è il grado del suo termine di grado più alto, e si legge dopo la riduzione

Ordinare

$7 - 2 x + 5 x^{3}$ ordinato è $5 x^{3} - 2 x + 7$

i termini si scrivono con l'esponente che cala da sinistra a destra, e il termine noto va per ultimo

Polinomi opposti

$3 x - 5$ e $- 3 x + 5$

due polinomi sono opposti quando la loro somma è

0

: si ottiene l'opposto cambiando il segno di ogni termine

Il termine noto ha grado $0$ , perché non ha lettere. In $5 x^{3} - 2 x + 7$ il termine noto è $7$ .
Ogni termine si porta dietro il proprio segno: in $5 x^{3} - 2 x + 7$ i tre termini sono $5 x^{3}$ , $- 2 x$ e $7$ .
Con più lettere il grado di un termine è la somma degli esponenti: $2 x^{2} y + 3 x y - 1$ ha grado $3$ , perché il primo termine vale $2 + 1$ .
Un polinomio si può ordinare rispetto a una lettera scelta: rispetto a $x$ , $3 y + x^{2} - 2 x y$ diventa $x^{2} - 2 x y + 3 y$ .

Il grado si legge dopo la riduzione, non prima. In $2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2}$ sembra esserci un termine di grado $2$ , ma i due termini simili si eliminano: il polinomio ridotto è $5 x$ e il grado è $1$ . E «tre termini» si conta sulla forma normale: un'espressione con sei addendi di cui quattro simili è un binomio, non un polinomio di sei termini.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

Quanti termini ha il polinomio $4 x^{2} - 3 x + 7$ ?
- A $1$
- B $2$
- C $4$
- D $3$
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Risposta giusta: D. $3$
I termini separati da addizioni o sottrazioni sono $4 x^{2}$ , $- 3 x$ e $7$ : sono tre. La risposta $4$ nasce dal contare il segno meno come se fosse un termine, ma il segno appartiene al termine $- 3 x$ .
Qual è il termine noto del polinomio $2 a^{3} - a + 6$ ?
- A $6$
- B $2 a^{3}$
- C $- a$
- D $3$
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Risposta giusta: A. $6$
Il termine noto è quello senza lettere: qui è $6$ . La risposta $3$ nasce dal leggere l'esponente di $a$ come se indicasse il termine noto, ma $a^{3}$ contiene una lettera.
Come si classifica $2 a^{3} - 5$ ?
- A Monomio di grado 3
- B Binomio di grado 3
- C Trinomio di grado 2
- D Binomio di grado 5
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Risposta giusta: B. Binomio di grado 3
Ci sono due termini, $2 a^{3}$ e $- 5$ , quindi è un binomio; il grado maggiore è $3$ . La risposta monomio di grado $3$ nasce dal contare soltanto il termine con la lettera e ignorare il termine noto $- 5$ , che è comunque un termine del polinomio.
Riduci e classifica $3 x + 2 x^{2} - 5 x + x^{2}$ .
- A $3 x^{2} - 2 x$ , trinomio di grado 2
- B $3 x^{2} + 8 x$ , binomio di grado 2
- C $6 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 2
- D $3 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 2
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Risposta giusta: D. $3 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 2
Si riducono i termini simili: $2 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}$ e $3 x - 5 x = - 2 x$ . Rimane $3 x^{2} - 2 x$ , un binomio di grado $2$ . $3 x^{2} + 8 x$ nasce dal sommare $3 x$ e $5 x$ senza mantenere il segno negativo di $- 5 x$ .
Qual è il grado del polinomio $7 a^{2} b - 3 a b^{3} + 1$ ?
- A $4$
- B $3$
- C $6$
- D $1$
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Risposta giusta: A. $4$
I gradi dei termini sono rispettivamente $2 + 1 = 3$ , $1 + 3 = 4$ e $0$ . Il grado del polinomio è il maggiore, cioè $4$ . La risposta $3$ nasce dal fermarsi al primo termine invece di confrontare tutti i termini.
Quale scrittura è un polinomio ordinato per potenze decrescenti di $x$ ?
- A $- 2 x + 5 x^{3} + 4$
- B $4 + 5 x^{3} - 2 x$
- C $5 x^{3} - 2 x + 4$
- D $5 x^{3} + 4 - 2 x$
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Risposta giusta: C. $5 x^{3} - 2 x + 4$
In ordine decrescente si scrivono prima il termine con $x^{3}$ , poi quello con $x$ , infine il termine noto: $5 x^{3} - 2 x + 4$ . $5 x^{3} + 4 - 2 x$ mette il termine noto prima di un termine con lettera, quindi interrompe l'ordine decrescente.
Riduci e classifica $4 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + x$ .
- A $6 x^{2} - 2 x$ , quadrinomio di grado 2
- B $6 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 2
- C $6 x^{2} + 4 x$ , binomio di grado 2
- D $6 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 4
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Risposta giusta: B. $6 x^{2} - 2 x$ , binomio di grado 2
Si riducono prima i termini simili: $4 x^{2} + 2 x^{2} = 6 x^{2}$ e $- 3 x + x = - 2 x$ . Il risultato $6 x^{2} - 2 x$ ha due termini ed è un binomio di grado $2$ . $6 x^{2} - 2 x$ , quadrinomio di grado 2 nasce dal classificare il polinomio prima di avere ridotto i quattro termini iniziali.
Riduci $3 x^{2} - 2 x + 4 x^{2} + 5 x - 1$ e classifica il risultato.
- A $7 x^{2} + 3 x - 1$ , binomio di grado 2
- B $7 x^{2} - 7 x - 1$ , trinomio di grado 2
- C $7 x^{2} + 3 x - 1$ , trinomio di grado 2
- D $12 x^{2} + 3 x - 1$ , trinomio di grado 2
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Risposta giusta: C. $7 x^{2} + 3 x - 1$ , trinomio di grado 2
$3 x^{2} + 4 x^{2} = 7 x^{2}$ e $- 2 x + 5 x = 3 x$ , quindi si ottiene $7 x^{2} + 3 x - 1$ . Ha tre termini ed è un trinomio di grado $2$ . $12 x^{2} + 3 x - 1$ nasce dal sommare impropriamente i coefficienti $3$ , $4$ e $5$ come se tutti moltiplicassero $x^{2}$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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