Matematica · 3ª media · Lezione 5 di 13

Addizioni e sottrazioni di polinomi

Attività su «Addizioni e sottrazioni di polinomi» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Sommare o sottrarre due polinomi vuol dire togliere le parentesi e poi ridurre i termini simili. La differenza fra le due operazioni sta tutta in quello che succede ai segni quando la parentesi si apre.

Somma

$(3 x + 5) + (2 x - 1)$

$3 x + 5 + 2 x - 1$

$5 x + 4$

davanti alla parentesi c'è un più: i termini escono con il segno che avevano, poi si riducono i simili (

3 x + 2 x = 5 x

5 - 1 = 4

)

Differenza

$(3 x + 5) - (2 x - 1)$

$3 x + 5 - 2 x + 1$

$x + 6$

davanti alla parentesi c'è un meno: ogni termine dentro cambia segno, quindi

- (2 x - 1)

diventa

- 2 x + 1

. Sottrarre un polinomio è come sommare il suo opposto

Il risultato si controlla sostituendo un numero in tutte e due le scritture. Con $x = 4$ la scrittura di partenza diventa $(3 \cdot 4 + 5) - (2 \cdot 4 - 1)$ , cioè $17 - 7$ , cioè $10$ ; il risultato dà $4 + 6 = 10$ . Se i due numeri non coincidono, l'errore è nei segni.
Con più lettere si riducono solo i simili: $(2 a + 3 b) - (a - b) = a + 4 b$ .
Due polinomi opposti si annullano: $(3 x - 5) + (- 3 x + 5) = 0$ .
Se dopo la riduzione non restano termini simili, l'espressione è finita: $(x^{2} + 2) + (3 x - 1) = x^{2} + 3 x + 1$ .

Il segno meno davanti alla parentesi si distribuisce a tutti i termini, non solo al primo. Da $(3 x + 5) - (2 x - 1)$ molti scrivono $3 x + 5 - 2 x - 1$ : è l'errore più frequente, perché il $- 1$ è rimasto com'era mentre doveva diventare $+ 1$ . Un modo per non sbagliare è scrivere prima la parentesi con i segni già cambiati, e solo dopo ridurre.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Addizioni e sottrazioni di polinomi

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Domande

Quali due monomi sono simili?
- A $3 x$ e $3 x^{2}$
- B $2 a b$ e $2 a$
- C $3 x^{2}$ e $- 5 x^{2}$
- D $4 y$ e $4 y^{3}$
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Risposta giusta: C. $3 x^{2}$ e $- 5 x^{2}$
Sono simili $3 x^{2}$ e $- 5 x^{2}$ , perché hanno la stessa parte letterale $x^{2}$ . Il distrattore $3 x$ e $3 x^{2}$ nasce dall'errore di guardare solo la lettera e non l'esponente: $x$ e $x^{2}$ non sono la stessa parte letterale.
Calcola $(4 x^{2} - 3 x + 2) + (2 x^{2} + 5 x - 7)$ .
- A $6 x^{2} - 8 x + 9$
- B $6 x^{2} + 2 x + 5$
- C $6 x^{4} + 2 x - 5$
- D $6 x^{2} + 2 x - 5$
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Risposta giusta: D. $6 x^{2} + 2 x - 5$
Si sommano i termini simili: $4 x^{2} + 2 x^{2} = 6 x^{2}$ , $- 3 x + 5 x = 2 x$ e $2 - 7 = - 5$ . Il distrattore $6 x^{4} + 2 x - 5$ nasce dal sommare gli esponenti e trasformare erroneamente $x^{2} + x^{2}$ in $x^{4}$ .
Calcola $(5 x - 2) - (3 x + 4)$ .
- A $2 x - 6$
- B $2 x + 2$
- C $8 x - 6$
- D $2 x - 2$
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Risposta giusta: A. $2 x - 6$
Il meno davanti alla parentesi cambia entrambi i segni: $5 x - 2 - 3 x - 4 = 2 x - 6$ . Il distrattore $2 x + 2$ deriva dal cambiare il segno di $3 x$ ma lasciare $+ 4$ invariato.
Riduci $(2 a^{2} - 3 a + 5) + (a^{2} + 6 a - 8)$ .
- A $3 a^{2} - 9 a - 3$
- B $3 a^{2} + 9 a - 3$
- C $2 a^{2} + 3 a - 3$
- D $3 a^{2} + 3 a - 3$
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Risposta giusta: D. $3 a^{2} + 3 a - 3$
I termini simili danno $2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}$ , $- 3 a + 6 a = 3 a$ e $5 - 8 = - 3$ . Il distrattore $3 a^{2} + 9 a - 3$ nasce dal fare $- 3 a + 6 a = 9 a$ ignorando che i coefficienti hanno segno opposto.
Riduci $(7 y^{2} - 4 y + 1) - (2 y^{2} - 5 y - 3)$ .
- A $5 y^{2} - 9 y - 2$
- B $5 y^{2} + y + 4$
- C $9 y^{2} - 9 y - 2$
- D $5 y^{2} - 9 y + 4$
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Risposta giusta: B. $5 y^{2} + y + 4$
Prima si cambia il segno del secondo polinomio: $7 y^{2} - 4 y + 1 - 2 y^{2} + 5 y + 3 = 5 y^{2} + y + 4$ . Il distrattore $5 y^{2} - 9 y + 4$ nasce dal non cambiare il segno di $- 5 y$ dopo la sottrazione.
Che cosa si fa quando si sottrae un polinomio fra parentesi?
- A Si cambia solo il primo segno nella parentesi.
- B Si sottraggono soltanto i termini con la lettera.
- C Si cambia il segno di ogni termine nella parentesi.
- D Si sommano tutti i termini senza considerare i segni.
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Risposta giusta: C. Si cambia il segno di ogni termine nella parentesi.
Sottrarre un polinomio significa aggiungere il suo opposto: ogni termine cambia segno. Il distrattore «si cambia solo il primo segno» produce, per esempio, $5 x - (3 x + 4) = 2 x + 2$ invece di $2 x - 6$ .
Calcola $(3 m^{2} + 2 m - 1) - (m^{2} - 4 m + 6)$ .
- A $2 m^{2} - 2 m - 7$
- B $2 m^{2} + 6 m - 7$
- C $4 m^{2} - 2 m + 5$
- D $2 m^{2} + 6 m + 5$
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Risposta giusta: B. $2 m^{2} + 6 m - 7$
Cambiano tutti i segni del secondo polinomio: $3 m^{2} + 2 m - 1 - m^{2} + 4 m - 6 = 2 m^{2} + 6 m - 7$ . Il distrattore $2 m^{2} - 2 m - 7$ deriva dal lasciare invariato il segno di $- 4 m$ .
Calcola $(4 p - 2 p^{2} + 3) + (5 p^{2} - 7 p - 8)$ .
- A $3 p^{2} - 3 p - 5$
- B $7 p^{2} - 3 p - 5$
- C $3 p^{2} + 11 p - 5$
- D $3 p^{2} - 3 p + 11$
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Risposta giusta: A. $3 p^{2} - 3 p - 5$
Si raggruppano i termini simili: $- 2 p^{2} + 5 p^{2} = 3 p^{2}$ , $4 p - 7 p = - 3 p$ e $3 - 8 = - 5$ . Il distrattore $7 p^{2} - 3 p - 5$ nasce dal sommare i coefficienti dei termini in $p^{2}$ senza rispettare il segno meno di $- 2 p^{2}$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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