Matematica · 3ª media · Lezione 6 di 13

Prodotto di un monomio per un polinomio

Attività su «Prodotto di un monomio per un polinomio» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Per moltiplicare un monomio per un polinomio si usa la proprietà distributiva: il monomio si moltiplica per ogni termine del polinomio, e i prodotti ottenuti si sommano. Il risultato ha tanti termini quanti ne aveva il polinomio di partenza.

La regola

$2 x \cdot (3 x + 4)$

$6 x^{2} + 8 x$

due termini dentro la parentesi, due prodotti da calcolare:

2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}

2 x \cdot 4 = 8 x

Se il monomio è negativo

$- 2 x \cdot (3 x + 4)$

$- 6 x^{2} - 8 x$

il segno entra in ogni prodotto: tutti i termini del risultato cambiano segno rispetto al caso di prima, non solo il primo

Il disegno dice perché la regola funziona: il rettangolo è alto $2 x$ e largo $3 x + 4$ , e la sua area si può contare in due modi. Tutta insieme, $2 x \cdot (3 x + 4)$ ; oppure pezzo per pezzo, $6 x^{2} + 8 x$ . Sono la stessa superficie, quindi i due conti danno lo stesso risultato.

Dentro ogni prodotto si fanno due conti separati: i coefficienti si moltiplicano, gli esponenti della stessa lettera si sommano. In $3 a \cdot 2 a^{2} = 6 a^{3}$ : $3 \cdot 2 = 6$ e $1 + 2 = 3$ .
Con tre termini si fanno tre prodotti: $x \cdot (x^{2} - 3 x + 5) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$ .
La riduzione dei termini simili si fa dopo aver distribuito tutto, non durante.
Il risultato si controlla con un numero: con $x = 1$ , $2 \cdot 7 = 14$ e $6 + 8 = 14$ .

L'errore tipico è fermarsi al primo termine e scrivere $2 x \cdot (3 x + 4) = 6 x^{2} + 4$ . Il $+ 4$ è rimasto lì com'era, senza essere moltiplicato. Un modo per accorgersene: il risultato deve avere lo stesso numero di termini del polinomio di partenza, e ogni termine deve contenere il monomio che si è distribuito.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Prodotto di un monomio per un polinomio

Apri la mappa in grande

Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione in algebra (PhET, sito esterno): Prova a moltiplicare ciascuna parte del polinomio per lo stesso monomio e osserva come i prodotti parziali occupano l'intera area.

Domande

Nel prodotto di un monomio per un polinomio, che cosa fa il monomio?
- A Si somma soltanto al primo termine del polinomio.
- B Moltiplica ogni termine del polinomio.
- C Moltiplica solo i termini con la stessa lettera.
- D Si aggiunge alla fine del polinomio.
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. Moltiplica ogni termine del polinomio.
Vale la proprietà distributiva: il monomio moltiplica ogni termine nella parentesi. Il distrattore «solo i termini con la stessa lettera» nasce dal confondere la distribuzione con la riduzione dei termini simili.
Calcola $3 x \cdot (2 x - 5)$ .
- A $6 x^{2} - 5$
- B $5 x^{2} - 15 x$
- C $6 x^{2} - 15 x$
- D $6 x - 15$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $6 x^{2} - 15 x$
Si distribuisce $3 x$ : $3 x \cdot 2 x = 6 x^{2}$ e $3 x \cdot - 5 = - 15 x$ . Il distrattore $6 x^{2} - 5$ nasce dal moltiplicare il monomio solo per il primo termine.
Calcola $- 2 a \cdot (3 a^{2} - a + 4)$ .
- A $- 6 a^{2} + 2 a - 8$
- B $- 6 a^{3} - 2 a^{2} - 8 a$
- C $6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a$
- D $- 6 a^{3} + 2 a^{2} - 8 a$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $- 6 a^{3} + 2 a^{2} - 8 a$
I tre prodotti sono $- 2 a \cdot 3 a^{2} = - 6 a^{3}$ , $- 2 a \cdot - a = 2 a^{2}$ e $- 2 a \cdot 4 = - 8 a$ . Il distrattore $- 6 a^{3} - 2 a^{2} - 8 a$ deriva dall'errore di assegnare segno negativo anche al prodotto di due fattori negativi.
Calcola $5 m^{2} \cdot (- 2 m + 3)$ .
- A $- 10 m^{3} + 15 m^{2}$
- B $- 10 m^{2} + 15 m^{2}$
- C $10 m^{3} + 15 m^{2}$
- D $- 10 m^{3} + 3$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $- 10 m^{3} + 15 m^{2}$
Si ottiene $5 m^{2} \cdot - 2 m = - 10 m^{3}$ e $5 m^{2} \cdot 3 = 15 m^{2}$ . Il distrattore $- 10 m^{2} + 15 m^{2}$ nasce dal dimenticare che, nel prodotto $m^{2} \cdot m$ , gli esponenti si sommano e danno $m^{3}$ .
Calcola $- 3 y \cdot (2 y^{2} + y - 4)$ .
- A $- 6 y^{3} + 3 y^{2} + 12 y$
- B $- 5 y^{3} - 3 y^{2} + 12 y$
- C $- 6 y^{3} - 3 y^{2} + 12 y$
- D $- 6 y^{3} - 3 y^{2} - 12 y$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $- 6 y^{3} - 3 y^{2} + 12 y$
Distribuendo si ha $- 6 y^{3} - 3 y^{2} + 12 y$ . Il distrattore $- 6 y^{3} - 3 y^{2} - 12 y$ nasce dal non applicare la regola dei segni in $- 3 y \cdot - 4 = 12 y$ .
Calcola $4 x^{2} \cdot (3 x - 2 + x^{2})$ .
- A $4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$
- B $12 x^{3} - 8 x^{2} + x^{2}$
- C $4 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2}$
- D $12 x^{2} - 8 x^{2} + 4 x^{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$
I prodotti sono $12 x^{3}$ , $- 8 x^{2}$ e $4 x^{4}$ , che ordinati danno $4 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2}$ . Il distrattore $12 x^{3} - 8 x^{2} + x^{2}$ nasce dal non moltiplicare l'ultimo termine $x^{2}$ per $4 x^{2}$ .
Un alunno scrive $2 x \cdot (3 x - 4) = 6 x^{2} - 4$ . Quale errore ha commesso?
- A Ha sommato gli esponenti di $x$ .
- B Ha cambiato il segno di $3 x$ .
- C Ha moltiplicato $2 x$ per $4$ due volte.
- D Ha moltiplicato solo il primo termine della parentesi.
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. Ha moltiplicato solo il primo termine della parentesi.
Il risultato corretto è $6 x^{2} - 8 x$ , perché anche $- 4$ va moltiplicato per $2 x$ . Il distrattore $6 x^{2} - 4$ è prodotto esattamente dal lasciare invariato il secondo termine della parentesi.
Calcola $3 b \cdot (2 b^{2} - b + 5)$ .
- A $6 b^{3} - 3 b + 15 b$
- B $6 b^{3} - 3 b^{2} + 15 b$
- C $5 b^{3} - 3 b^{2} + 15 b$
- D $6 b^{3} + 3 b^{2} + 15 b$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $6 b^{3} - 3 b^{2} + 15 b$
Si ottengono $6 b^{3}$ , $- 3 b^{2}$ e $15 b$ . Il distrattore $6 b^{3} + 3 b^{2} + 15 b$ deriva dal trascurare il segno meno nel prodotto $3 b \cdot - b$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

Apri la lezione interattiva