Matematica · 3ª media · Lezione 7 di 13

Dividere una somma. Dividere un prodotto

Attività su «Dividere una somma. Dividere un prodotto» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Prima di dividere si guarda che operazione c'è nella parte da dividere, perché la regola cambia. Se è una somma, il divisore va applicato a tutti gli addendi. Se è un prodotto, basta dividere un fattore solo.

Dividere una somma

$(6 x + 8) : 2 = 3 x + 4$

ogni addendo va diviso:

6 x : 2 = 3 x

8 : 2 = 4

. In forma di frazione:

\frac{(a + b)}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

Dividere un prodotto

$(6 x \cdot 8) : 2 = 3 x \cdot 8$

si divide un fattore solo, quello che si preferisce: si può anche fare

6 x \cdot 4

, e il risultato è lo stesso,

24 x

Il motivo della differenza sta nel risultato: $(6 x + 8) : 2$ vale $3 x + 4$ , e con $x = 1$ fa $7$ , cioè la metà di $14$ . Se invece si dividesse solo il primo addendo verrebbe $3 x + 8$ , che con $x = 1$ fa $11$ : non è la metà di niente.
Nel prodotto vale il ragionamento opposto: dividere per $2$ tutti e due i fattori dimezzerebbe due volte, cioè dividerebbe per $4$ .
Nel dubbio conviene scegliere il fattore che si divide senza resto: in $(9 a \cdot 4) : 3$ si divide $9 a$ , non $4$ .
La regola vale anche con più addendi: $(4 x + 6 y - 10) : 2 = 2 x + 3 y - 5$ .

È l'errore più frequente del capitolo, e nasce sempre dallo stesso scambio: applicare la regola della somma a un prodotto, o quella del prodotto a una somma. Prima di scrivere qualsiasi cosa conviene rispondere a una domanda sola: fra i due pezzi c'è un più o c'è un per? Con il più si divide tutto, con il per si divide una volta sola.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Dividere una somma. Dividere un prodotto

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Domande

Come si calcola $(12 x + 8) : 4$ ?
- A $12 x : 4 + 8$
- B $12 x + 8 : 4$
- C $3 x + 8$
- D $3 x + 2$
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Risposta giusta: D. $3 x + 2$
In una somma si divide ogni addendo: $12 x : 4 = 3 x$ e $8 : 4 = 2$ , quindi $3 x + 2$ . Il distrattore $3 x + 8$ nasce dal dividere solo il primo addendo.
Calcola $(18 y \cdot 5) : 6$ .
- A $3 y$
- B $15 y$
- C $90 y$
- D $3 y \cdot 5 : 6$
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Risposta giusta: B. $15 y$
Nel prodotto basta dividere un fattore: $18 y : 6 = 3 y$ , poi $3 y \cdot 5 = 15 y$ . Il distrattore $3 y$ nasce dal fermarsi dopo aver diviso $18 y$ e dimenticare il fattore $5$ .
Calcola $(24 a + 12) : 6$ .
- A $4 a + 12$
- B $24 a + 2$
- C $4 a + 2$
- D $36 a : 6$
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Risposta giusta: C. $4 a + 2$
La divisione si distribuisce alla somma: $24 a : 6 = 4 a$ e $12 : 6 = 2$ . Il distrattore $4 a + 12$ deriva dal dividere solo il primo addendo.
Calcola $(7 x \cdot 12) : 3$ .
- A $7 x \cdot 4 : 3$
- B $28 x$
- C $84 x : 3$
- D $7 x + 4$
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Risposta giusta: B. $28 x$
Si può dividere il fattore $12$ per $3$ : $12 : 3 = 4$ , quindi $7 x \cdot 4 = 28 x$ . Il distrattore $7 x + 4$ nasce dal sostituire erroneamente il prodotto con una somma.
In quale caso il divisore va applicato a ogni addendo?
- A Quando il numeratore è una somma o una differenza.
- B Quando il numeratore è un prodotto.
- C Quando il numeratore ha una sola lettera.
- D Quando il divisore è un numero pari.
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Risposta giusta: A. Quando il numeratore è una somma o una differenza.
Ogni addendo va diviso quando il numeratore è una somma o una differenza. Il distrattore «quando il numeratore è un prodotto» produce l'errore di dividere tutti i fattori, invece di sceglierne uno solo.
Calcola $(16 p \cdot 3) : 4$ .
- A $4 p \cdot 3 : 4$
- B $48 p : 4 : 4$
- C $16 p \cdot 3 : 4$
- D $12 p$
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Risposta giusta: D. $12 p$
Dividendo $16 p$ per $4$ si ottiene $4 p$ , poi $4 p \cdot 3 = 12 p$ . Il distrattore $48 p : 4 : 4$ nasce dal dividere il prodotto completo due volte per lo stesso divisore.
Calcola $(30 x - 18) : 6$ .
- A $5 x - 18$
- B $30 x - 3$
- C $5 x - 3$
- D $12 x$
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Risposta giusta: C. $5 x - 3$
Si divide ogni termine: $30 x : 6 = 5 x$ e $- 18 : 6 = - 3$ . Il distrattore $30 x - 3$ nasce dal dividere soltanto il termine noto.
Calcola $(14 a \cdot 15) : 5$ .
- A $42 a$
- B $14 a \cdot 3 : 5$
- C $210 a : 5 : 5$
- D $29 a$
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Risposta giusta: A. $42 a$
Si semplifica $15 : 5 = 3$ e poi $14 a \cdot 3 = 42 a$ . Il distrattore $210 a : 5 : 5$ nasce dal dividere il prodotto completo due volte per lo stesso divisore.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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