Matematica · 3ª media · Lezione 8 di 13

Dividere un polinomio. Dividere un monomio

Attività su «Dividere un polinomio. Dividere un monomio» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Dividere un polinomio per un monomio è un caso della regola «dividere una somma»: ogni termine del polinomio va diviso separatamente per il monomio, e i risultati si sommano. La divisione si può fare solo se il divisore non è zero.

Polinomio diviso monomio

$(6 x^{2} + 8 x) : 2 x$

$3 x + 4$

termine per termine:

6 x^{2} : 2 x = 3 x

8 x : 2 x = 4

Dentro ogni divisione

$12 x^{3} y : 4 x y = 3 x^{2}$

i coefficienti si dividono (

12 : 4 = 3

) e gli esponenti della stessa lettera si sottraggono (

3 - 1 = 2

per la

x

1 - 1 = 0

per la

y

, che quindi sparisce)

Una lettera sparisce quando la sua differenza di esponenti fa $0$ , perché una potenza con esponente zero vale $1$ . In $12 x^{3} y : 4 x y$ la $y$ c'è in tutti e due e se ne va; la $x$ resta con esponente $2$ .
Una lettera che sta solo nel dividendo resta com'è: $10 a^{2} b : 5 a = 2 a b$ .
Regola dei segni, come sempre: $(- 15 x^{2} + 9 x) : 3 x = - 5 x + 3$ .
Il risultato si controlla moltiplicando: se $(6 x^{2} + 8 x) : 2 x = 3 x + 4$ , allora $2 x \cdot (3 x + 4)$ deve tornare $6 x^{2} + 8 x$ . È la divisione controllata con la sua operazione inversa.

Anche qui il divisore va applicato a tutti i termini: $(6 x^{2} + 8 x) : 2 x$ non fa $3 x + 8 x$ . E attenzione alle lettere che il divisore non contiene: dividere $12 x^{3} y$ per $4 x y$ toglie la $y$ perché c'è in tutti e due, ma dividere $10 a^{2} b$ per $5 a$ lascia la $b$ dov'era, perché il divisore non ce l'ha.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Dividere un polinomio. Dividere un monomio

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Domande

Calcola $(12 x^{2} - 8 x) : 4 x$ .
- A $3 x - 2$
- B $3 x^{2} - 2 x$
- C $3 x - 8 x$
- D $20 x^{2} : 4 x$
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Risposta giusta: A. $3 x - 2$
Ogni termine va diviso per $4 x$ : $12 x^{2} : 4 x = 3 x$ e $- 8 x : 4 x = - 2$ . Il distrattore $3 x^{2} - 2 x$ nasce dal dividere i coefficienti ma lasciare invariati gli esponenti della lettera.
Calcola $(15 a^{2} + 10 a) : 5 a$ .
- A $3 a^{2} + 2 a$
- B $5 a + 2$
- C $3 a + 2$
- D $25 a^{2} : 5 a$
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Risposta giusta: C. $3 a + 2$
Si divide ciascun termine: $15 a^{2} : 5 a = 3 a$ e $10 a : 5 a = 2$ . Il distrattore $3 a^{2} + 2 a$ deriva dal non sottrarre gli esponenti nella divisione di potenze con la stessa base.
Calcola $(- 18 b^{3} + 6 b^{2} - 12 b) : - 6 b$ .
- A $3 b^{2} + b + 2$
- B $- 3 b^{2} - b - 2$
- C $3 b^{2} + b - 2$
- D $3 b^{2} - b + 2$
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Risposta giusta: D. $3 b^{2} - b + 2$
I tre quozienti sono $3 b^{2}$ , $- b$ e $2$ , quindi $3 b^{2} - b + 2$ . Il distrattore $3 b^{2} + b + 2$ nasce dal trattare $6 b^{2} : - 6 b$ come se il divisore fosse positivo.
Calcola $(20 m^{3} - 15 m^{2}) : 5 m^{2}$ .
- A $4 m^{3} - 3 m^{2}$
- B $4 m - 3$
- C $4 m + 3$
- D $5 m - 3$
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Risposta giusta: B. $4 m - 3$
Si ottiene $20 m^{3} : 5 m^{2} = 4 m$ e $- 15 m^{2} : 5 m^{2} = - 3$ . Il distrattore $4 m^{3} - 3 m^{2}$ nasce dal lasciare invariati gli esponenti invece di sottrarli.
Quale regola si usa per la parte letterale in $x^{5} : x^{2}$ ?
- A Si sottraggono gli esponenti e si ottiene $x^{3}$ .
- B Si sommano gli esponenti e si ottiene $x^{7}$ .
- C Si dividono gli esponenti e si ottiene $x^{2}$ .
- D Si cancella sempre la lettera e si ottiene $1$ .
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Risposta giusta: A. Si sottraggono gli esponenti e si ottiene $x^{3}$ .
Nella divisione di potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $x^{5} : x^{2} = x^{3}$ . Il distrattore $x^{7}$ nasce dall'applicare per errore la regola del prodotto, dove gli esponenti invece si sommano.
Calcola $(14 x^{2} y - 21 x y^{2}) : 7 x y$ .
- A $2 x y - 3 x y$
- B $2 x - 3 x$
- C $2 x - 3 y$
- D $2 x^{2} y - 3 x y^{2}$
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Risposta giusta: C. $2 x - 3 y$
Il primo termine dà $2 x$ , perché resta una $x$ ; il secondo dà $- 3 y$ , perché resta una $y$ . Il distrattore $2 x^{2} y - 3 x y^{2}$ nasce dal dividere solo i coefficienti e non semplificare le lettere.
Calcola $(- 24 c^{3} + 8 c^{2}) : 4 c^{2}$ .
- A $- 6 c + 2 c$
- B $- 6 c + 2$
- C $- 6 c^{3} + 2 c^{2}$
- D $- 4 c + 2$
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Risposta giusta: B. $- 6 c + 2$
Si ha $- 24 c^{3} : 4 c^{2} = - 6 c$ e $8 c^{2} : 4 c^{2} = 2$ , quindi $- 6 c + 2$ . Il distrattore $- 6 c + 2 c$ nasce dal lasciare una $c$ nel secondo quoziente, dove invece $c^{2} : c^{2} = 1$ .
Calcola $(27 r^{3} - 18 r^{2} + 9 r) : - 9 r$ .
- A $- 3 r^{2} - 2 r - 1$
- B $3 r^{2} + 2 r - 1$
- C $- 3 r^{2} + 2 r + 1$
- D $- 3 r^{2} + 2 r - 1$
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Risposta giusta: D. $- 3 r^{2} + 2 r - 1$
I quozienti sono $- 3 r^{2}$ , $2 r$ e $- 1$ , quindi $- 3 r^{2} + 2 r - 1$ . Il distrattore $- 3 r^{2} - 2 r - 1$ nasce dal dimenticare che $- 18 r^{2} : - 9 r$ è positivo.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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