Matematica · 3ª media · Lezione 9 di 13

Raccogliere un fattore comune

Laboratorio su «Raccogliere un fattore comune» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Raccogliere a fattore comune vuol dire fare il cammino inverso della proprietà distributiva: si parte da una somma di termini e si arriva a un prodotto. Si cerca il fattore che compare in tutti i termini, lo si scrive davanti alla parentesi, e dentro resta quello che avanza di ogni termine.

Raccogliere

$6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$

il fattore comune è

3 x

; dentro la parentesi resta

6 x^{2} : 3 x = 2 x

9 x : 3 x = 3

Come si trova il fattore comune

coefficienti: il M.C.D. di $6$ e $9$ è $3$

lettere: l'esponente più piccolo, qui $x^{1}$

per i numeri si prende il massimo comune divisore dei coefficienti; per ogni lettera presente in tutti i termini si prende l'esponente più piccolo

Il disegno racconta la stessa cosa al contrario del prodotto: le due caselle valgono $6 x^{2}$ e $9 x$ , e stanno l'una accanto all'altra perché hanno la stessa altezza. Quell'altezza comune, $3 x$ , è proprio il fattore che si raccoglie; le due basi messe in fila danno $2 x + 3$ .

Il raccoglimento si controlla sempre ridistribuendo: $3 x (2 x + 3) = 6 x^{2} + 9 x$ . Se non si ritorna al punto di partenza, il fattore raccolto era sbagliato.
Una lettera entra nel fattore comune solo se sta in tutti i termini: in $4 a^{2} + 6 a b - 2 a$ si raccoglie $2 a$ e resta $2 a (2 a + 3 b - 1)$ .
Quando un termine coincide con il fattore comune, dentro la parentesi resta $1$ , che non va dimenticato: in $5 x^{2} + 5 x$ si raccoglie $5 x$ e resta $5 x (x + 1)$ .
Conviene raccogliere il fattore più grande possibile: in $6 x^{2} + 9 x$ si potrebbe raccogliere anche $3$ , ottenendo $3 (2 x^{2} + 3 x)$ , ma la parentesi si potrebbe ancora raccogliere e il lavoro non è finito.

Due errori si somigliano e vanno distinti. Il primo è raccogliere un fattore che non sta in tutti i termini: in $4 a^{2} + 6 a b - 3$ il $2$ non si può raccogliere, perché il $3$ non è divisibile per $2$ . Il secondo è far sparire il termine uguale al fattore comune: in $5 x^{2} + 5 x$ la parentesi è $(x + 1)$ , non $(x)$ . La prova di ridistribuzione smaschera tutti e due in una riga.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Raccogliere un fattore comune

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Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione in algebra (PhET, sito esterno): Prova a ricomporre più termini come aree affiancate di un unico rettangolo e osserva come la dimensione condivisa diventa il fattore comune.

Domande

Quale scrittura raccoglie correttamente un fattore comune in $6 x^{2} + 9 x$ ?
- A $3 \cdot (2 x^{2} + 9 x)$
- B $3 x \cdot (2 x + 9)$
- C $3 x \cdot (2 x + 3)$
- D $x \cdot (6 x + 3)$
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Risposta giusta: C. $3 x \cdot (2 x + 3)$
Il fattore comune è $3 x$ : $6 x^{2} : 3 x = 2 x$ e $9 x : 3 x = 3$ , quindi $6 x^{2} + 9 x = 3 x \cdot (2 x + 3)$ . Il distrattore $3 x \cdot (2 x + 9)$ nasce dal dividere il secondo termine solo per $x$ invece che per tutto $3 x$ .
Qual è il raccoglimento corretto di $8 a^{2} b + 12 a b^{2}$ ?
- A $4 a b \cdot (2 a + 3 b)$
- B $4 a \cdot (2 a b + 3 b)$
- C $4 a b \cdot (2 a^{2} + 3 b^{2})$
- D $2 a b \cdot (4 a + 3 b)$
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Risposta giusta: A. $4 a b \cdot (2 a + 3 b)$
Il fattore comune scelto è $4 a b$ : dividendo i due termini si ottengono $2 a$ e $3 b$ . Il distrattore $4 a b \cdot (2 a^{2} + 3 b^{2})$ conserva dentro parentesi una lettera in più: ridistribuendo darebbe $8 a^{3} b + 12 a b^{3}$ , non il polinomio iniziale.
Quale binomio completa il raccoglimento di $15 x^{2} - 10 x$ con fattore comune $5 x$ ?
- A $(3 x - 10)$
- B $(3 x - 2)$
- C $(15 x - 2)$
- D $(3 x^{2} - 2 x)$
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Risposta giusta: B. $(3 x - 2)$
Dividendo ogni termine per $5 x$ si ha $15 x^{2} : 5 x = 3 x$ e $- 10 x : 5 x = - 2$ , quindi serve $(3 x - 2)$ . Il distrattore $(3 x - 10)$ nasce dal non dividere il secondo coefficiente per 5.
Svolgi $7 m \cdot (2 m + 5)$ .
- A $14 m^{2} + 5$
- B $9 m^{2} + 35 m$
- C $14 m^{2} + 35 m$
- D $14 m + 35 m$
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Risposta giusta: C. $14 m^{2} + 35 m$
La distributiva dà $7 m \cdot 2 m = 14 m^{2}$ e $7 m \cdot 5 = 35 m$ , dunque $14 m^{2} + 35 m$ . Il distrattore $14 m^{2} + 5$ nasce dal moltiplicare il fattore comune solo per il primo termine della parentesi.
Quale prodotto ricostruisce $18 p^{2} q - 12 p q^{2}$ ?
- A $6 p \cdot (3 p - 2 q)$
- B $6 q \cdot (3 p - 2 p q)$
- C $6 p q \cdot (3 p - 2 q^{2})$
- D $6 p q \cdot (3 p - 2 q)$
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Risposta giusta: D. $6 p q \cdot (3 p - 2 q)$
Il fattore comune $6 p q$ lascia $3 p$ dal primo termine e $- 2 q$ dal secondo: $6 p q \cdot (3 p - 2 q)$ . Il distrattore $6 p q \cdot (3 p - 2 q^{2})$ nasce dal non togliere il fattore $q$ dal secondo termine.
Qual è il massimo fattore comune per riscrivere $4 y^{3} + 6 y^{2}$ ?
- A $2 y$
- B $2 y^{2}$
- C $4 y^{2}$
- D $6 y^{2}$
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Risposta giusta: B. $2 y^{2}$
Il massimo fattore numerico comune è 2 e l'esponente minimo di $y$ è 2, quindi il fattore è $2 y^{2}$ . Il distrattore $2 y$ nasce dal scegliere la lettera comune ma non il suo esponente minimo condiviso più alto.
Quale sviluppo verifica $5 t \cdot (t - 4)$ ?
- A $5 t^{2} - 4$
- B $5 t^{2} - 9 t$
- C $5 t^{2} - 20$
- D $5 t^{2} - 20 t$
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Risposta giusta: D. $5 t^{2} - 20 t$
Distribuendo $5 t$ si ottiene $5 t \cdot t - 5 t \cdot 4 = 5 t^{2} - 20 t$ . Il distrattore $5 t^{2} - 20$ nasce dal calcolare $5 \cdot 4$ ma dal perdere la lettera $t$ nel secondo prodotto.
Uno studente scrive $12 x^{2} + 18 x = 6 x \cdot (2 x + 18)$ . Qual è la correzione?
- A $12 x^{2} + 18 x = 6 x \cdot (2 x + 3)$
- B $12 x^{2} + 18 x = 6 \cdot (2 x^{2} + 3)$
- C $12 x^{2} + 18 x = 6 x \cdot (2 x^{2} + 3 x)$
- D $12 x^{2} + 18 x = 6 x \cdot (12 x + 18)$
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Risposta giusta: A. $12 x^{2} + 18 x = 6 x \cdot (2 x + 3)$
Dividendo per $6 x$ si ottengono $2 x$ e $3$ , dunque $6 x \cdot (2 x + 3)$ . Il distrattore originale $(2 x + 18)$ nasce dal dividere $12 x^{2}$ per $6 x$ ma lasciare invariato $18 x$ invece di calcolare $18 x : 6 x = 3$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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