Matematica · 3ª media · Lezione 10 di 13

Prodotto di polinomi

Attività su «Prodotto di polinomi» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Per moltiplicare due polinomi si applica la proprietà distributiva estesa: ogni termine del primo si moltiplica per ogni termine del secondo, e tutti i prodotti ottenuti si sommano. Alla fine si riducono i termini simili. Due binomi danno quattro prodotti, e non uno di meno.

La regola

$(a + b) (c + d)$

$a c + a d + b c + b d$

quattro prodotti: il primo termine per tutti e due i termini del secondo polinomio, poi il secondo termine per tutti e due

Con i numeri, e la riduzione

$(x + 5) (x + 3)$

$x^{2} + 3 x + 5 x + 15$

$x^{2} + 8 x + 15$

i quattro prodotti si calcolano tutti, e solo alla fine si riducono i due simili:

3 x

5 x

diventano

8 x

Il rettangolo ha per lati i due polinomi. Tagliandolo dove finisce ogni termine si ottengono quattro caselle, e ogni casella è uno dei quattro prodotti: l'area totale si può contare tutta insieme, $(a + b) (c + d)$ , oppure sommando le quattro parti.

Con i numeri si vede anche la riduzione: le due caselle da $5 x$ e $3 x$ sono due rettangoli diversi, ma i loro contributi sono simili e si sommano in $8 x$ .

Per non saltare nessuna coppia conviene procedere sempre nello stesso ordine: primo per primo, primo per secondo, secondo per primo, secondo per secondo.
I segni si portano dietro: $(x - 2) (x + 4) = x^{2} + 4 x - 2 x - 8$ , che ridotto fa $x^{2} + 2 x - 8$ .
Se un polinomio ha tre termini i prodotti diventano sei: $(x + 1) (x^{2} + 2 x + 3)$ dà sei prodotti, poi si riduce.
Controllo con un numero: con $x = 2$ , $(2 + 5) (2 + 3) = 35$ e $4 + 16 + 15 = 35$ .

L'errore tipico è calcolare solo i prodotti «in colonna», cioè primo per primo e secondo per secondo, e scrivere $(x + 5) (x + 3) = x^{2} + 15$ . Mancano i due prodotti incrociati, che sono proprio quelli che generano il termine di mezzo. Il controllo veloce: due binomi devono produrre quattro prodotti; se sul foglio ne compaiono due, ne sono stati saltati due.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione in algebra (PhET, sito esterno): Prova a scomporre entrambi i lati del rettangolo nei termini dei due polinomi e osserva come ogni incrocio genera un termine del prodotto.

Domande

Svolgi $(x + 3) (x + 2)$ .
- A $x^{2} + 5 x + 6$
- B $x^{2} + 6 x + 5$
- C $x^{2} + 5$
- D $2 x^{2} + 6$
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Risposta giusta: A. $x^{2} + 5 x + 6$
I quattro prodotti sono $x^{2}$ , $2 x$ , $3 x$ e $6$ ; i termini simili $2 x + 3 x$ danno $5 x$ , quindi $x^{2} + 5 x + 6$ . Il distrattore $x^{2} + 6 x + 5$ nasce dallo scambiare il prodotto finale $3 \cdot 2 = 6$ con la somma $3 + 2 = 5$ .
Qual è il prodotto di $(2 x + 1) (x + 4)$ ?
- A $2 x^{2} + 8 x + 4$
- B $2 x^{2} + 9 x + 4$
- C $2 x^{2} + 5 x + 4$
- D $2 x^{2} + 4 x + 1$
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Risposta giusta: B. $2 x^{2} + 9 x + 4$
Si ottengono $2 x^{2}$ , $8 x$ , $x$ e $4$ ; $8 x + x = 9 x$ , quindi il risultato è $2 x^{2} + 9 x + 4$ . Il distrattore $2 x^{2} + 5 x + 4$ nasce dal sommare i coefficienti 4 e 1 al posto dei due termini misti $8 x$ e $x$ .
Quale passaggio serve per iniziare $(x - 5) (x + 2)$ ?
- A $x^{2} - 10$
- B $x^{2} - 5 x + 2$
- C $x^{2} - 3 x - 10$
- D $x \cdot x + x \cdot 2 - 5 \cdot x - 5 \cdot 2$
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Risposta giusta: D. $x \cdot x + x \cdot 2 - 5 \cdot x - 5 \cdot 2$
La distributiva richiede quattro prodotti: $x \cdot x$ , $x \cdot 2$ , $- 5 \cdot x$ e $- 5 \cdot 2$ . Il distrattore $x^{2} - 10$ nasce dal calcolare solo i prodotti esterni e dal saltare i due prodotti misti.
Svolgi $3 x \cdot (x - 2)$ .
- A $3 x^{2} - 2$
- B $3 x^{2} - 5 x$
- C $3 x^{2} - 6 x$
- D $3 x - 6$
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Risposta giusta: C. $3 x^{2} - 6 x$
Il monomio $3 x$ moltiplica entrambi i termini: $3 x \cdot x = 3 x^{2}$ e $3 x \cdot (- 2) = - 6 x$ . Il distrattore $3 x^{2} - 2$ nasce dal non distribuire $3 x$ sul secondo termine.
Calcola $(2 a - 3) (a + 5)$ .
- A $2 a^{2} + 7 a - 15$
- B $2 a^{2} + 10 a - 15$
- C $2 a^{2} - 7 a - 15$
- D $2 a^{2} + 2 a - 15$
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Risposta giusta: A. $2 a^{2} + 7 a - 15$
I prodotti sono $2 a^{2}$ , $10 a$ , $- 3 a$ e $- 15$ ; $10 a - 3 a = 7 a$ , quindi $2 a^{2} + 7 a - 15$ . Il distrattore $2 a^{2} + 10 a - 15$ nasce dal dimenticare il prodotto $- 3 \cdot a = - 3 a$ .
Qual è il risultato di $(m + 4) (m - 1)$ ?
- A $m^{2} + 5 m - 4$
- B $m^{2} + 3 m - 4$
- C $m^{2} - 3 m - 4$
- D $m^{2} + 4 m - 1$
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Risposta giusta: B. $m^{2} + 3 m - 4$
Si ha $m^{2} - m + 4 m - 4 = m^{2} + 3 m - 4$ . Il distrattore $m^{2} + 5 m - 4$ nasce dal trasformare $- m + 4 m$ in $m + 4 m$ , ignorando il segno meno del secondo termine.
Sviluppa $(x + 2) (x + 2)$ con la distributiva.
- A $x^{2} + 2 x + 4$
- B $x^{2} + 2 x + 2$
- C $x^{2} + 4$
- D $x^{2} + 4 x + 4$
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Risposta giusta: D. $x^{2} + 4 x + 4$
I quattro prodotti danno $x^{2} + 2 x + 2 x + 4 = x^{2} + 4 x + 4$ . Il distrattore $x^{2} + 2 x + 4$ nasce dal contare una sola volta uno dei due prodotti misti $x \cdot 2$ e $2 \cdot x$ .
Qual è il prodotto di $(2 y - 3) (y - 2)$ ?
- A $2 y^{2} - y + 6$
- B $2 y^{2} - 7 y - 6$
- C $2 y^{2} - 7 y + 6$
- D $2 y^{2} - 5 y + 6$
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Risposta giusta: C. $2 y^{2} - 7 y + 6$
I prodotti sono $2 y^{2}$ , $- 4 y$ , $- 3 y$ e $6$ ; $- 4 y - 3 y = - 7 y$ , quindi il risultato corretto è $2 y^{2} - 7 y + 6$ . Il distrattore $2 y^{2} - 5 y + 6$ nasce dal sommare i coefficienti 2 e 3 dei fattori invece dei termini misti $- 4 y$ e $- 3 y$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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