Matematica · 3ª media · Lezione 11 di 13

Esercitazione con i polinomi

Attività su «Esercitazione con i polinomi» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

In un'espressione con parentesi, prodotti e somme di polinomi non si può cominciare da dove capita. Vale l'ordine delle operazioni di sempre: prima i prodotti dentro le parentesi, poi i segni davanti alle parentesi, e la riduzione dei termini simili solo alla fine, quando non ci sono più parentesi.

L'ordine dei passaggi

$2 (x + 3) + x (x - 1)$

$2 x + 6 + x^{2} - x$

$x^{2} + x + 6$

prima si svolgono i due prodotti, poi si tolgono le parentesi, poi si riducono i simili:

2 x - x = x

e il termine noto resta

6

Il meno davanti a un prodotto

$8 - (x + 2) (x + 4)$

$8 - (x^{2} + 6 x + 8)$

$- x^{2} - 6 x$

il prodotto si svolge dentro la parentesi (prima riga), e solo dopo il segno meno si distribuisce a tutti e tre i termini:

8 - 8 = 0

, e il termine noto sparisce

Il segno meno davanti a una parentesi non si può applicare a un prodotto non ancora svolto: prima si calcola che cosa c'è dentro, poi si cambia segno a ogni termine del risultato.
Quando un prodotto notevole si riconosce, conviene usarlo: ${(x + 3)}^{2} + 2 x$ si svolge subito come $x^{2} + 6 x + 9 + 2 x$ , cioè $x^{2} + 8 x + 9$ .
Il risultato di un'espressione letterale è quasi sempre un polinomio, non un numero: se resta una lettera non c'è nessun errore.
Controllo finale con un numero, scegliendone uno diverso da $0$ e da $1$ : con $x = 3$ l'espressione di partenza vale $2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 18$ , e il risultato $9 + 3 + 6 = 18$ .

L'errore che rovina più espressioni è ridurre troppo presto: sommare fra loro termini che stanno dentro parentesi ancora chiuse, oppure semplificare pezzi di un prodotto prima di averlo svolto. In $8 - (x + 2) (x + 4)$ non si può cominciare da $8 - x$ : la sottrazione riguarda tutto il prodotto, non il suo primo pezzo. Le parentesi si tolgono, non si ignorano.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Esercitazione con i polinomi

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Domande

Riduci $(x + 4) + (3 x - 2)$ .
- A $4 x - 6$
- B $3 x + 2$
- C $4 x + 2$
- D $4 x - 2$
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Risposta giusta: C. $4 x + 2$
Togliendo le parentesi con il segno più si ha $x + 4 + 3 x - 2 = 4 x + 2$ . Il distrattore $4 x - 2$ nasce dal conservare il segno meno davanti a 2 ma dal dimenticare che $+ 4 - 2 = + 2$ .
Semplifica $2 x \cdot (x + 5) - (x^{2} - 3 x)$ .
- A $x^{2} + 13 x$
- B $x^{2} + 7 x$
- C $3 x^{2} + 7 x$
- D $x^{2} + 10 x$
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Risposta giusta: A. $x^{2} + 13 x$
Prima $2 x \cdot (x + 5) = 2 x^{2} + 10 x$ ; poi si sottrae tutto il secondo polinomio: $- x^{2} + 3 x$ . Si ottiene $x^{2} + 13 x$ . Il distrattore $x^{2} + 7 x$ nasce dal non cambiare il segno di $- 3 x$ quando si sottrae la parentesi.
Calcola $(3 a - 2) (a + 1) + a^{2}$ .
- A $3 a^{2} + a - 2$
- B $4 a^{2} - a - 2$
- C $4 a^{2} + 3 a - 2$
- D $4 a^{2} + a - 2$
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Risposta giusta: D. $4 a^{2} + a - 2$
Il prodotto vale $3 a^{2} + 3 a - 2 a - 2 = 3 a^{2} + a - 2$ ; aggiungendo $a^{2}$ si ha $4 a^{2} + a - 2$ . Il distrattore $4 a^{2} + 3 a - 2$ nasce dal trascurare il termine $- 2 a$ prodotto da $- 2 \cdot a$ .
Riduci $4 y^{2} - (y^{2} - 5 y)$ .
- A $3 y^{2} + 5 y$
- B $3 y^{2} - 5 y$
- C $5 y^{2} - 5 y$
- D $4 y^{2} - y^{2} - 5 y$
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Risposta giusta: A. $3 y^{2} + 5 y$
Il meno davanti alla parentesi cambia entrambi i segni: $4 y^{2} - y^{2} + 5 y = 3 y^{2} + 5 y$ . Il distrattore $3 y^{2} - 5 y$ nasce dal cambiare il segno del primo termine ma non quello di $- 5 y$ .
Semplifica $(x - 3) (x + 2) + (2 x + 1)$ .
- A $x^{2} - x - 5$
- B $x^{2} + x - 5$
- C $x^{2} + 3 x - 5$
- D $x^{2} + x - 7$
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Risposta giusta: B. $x^{2} + x - 5$
Il prodotto è $x^{2} + 2 x - 3 x - 6 = x^{2} - x - 6$ ; aggiungendo $2 x + 1$ si ottiene $x^{2} + x - 5$ . Il distrattore $x^{2} + 3 x - 5$ nasce dal trasformare $- x + 2 x$ in $x + 2 x$ invece di calcolare la somma algebrica.
Calcola $3 m \cdot (m - 2) + 2 \cdot (m^{2} + m)$ .
- A $5 m^{2} + 8 m$
- B $5 m^{2} - 8 m$
- C $3 m^{2} - 4 m$
- D $5 m^{2} - 4 m$
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Risposta giusta: D. $5 m^{2} - 4 m$
Sviluppando si ha $3 m^{2} - 6 m + 2 m^{2} + 2 m = 5 m^{2} - 4 m$ . Il distrattore $5 m^{2} - 8 m$ nasce dal sommare i valori assoluti 6 e 2 e mantenere il segno meno invece di fare $- 6 m + 2 m$ .
Semplifica $2 p \cdot (p + 4) - (p^{2} + 3 p)$ .
- A $p^{2} + 11 p$
- B $p^{2} + 5$
- C $p^{2} + 5 p$
- D $p^{2} + 8 p$
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Risposta giusta: C. $p^{2} + 5 p$
Si ottiene $2 p^{2} + 8 p - p^{2} - 3 p = p^{2} + 5 p$ . Il distrattore $p^{2} + 8 p$ nasce dal sottrarre il primo termine della parentesi ma dal lasciare invariato $+ 3 p$ , che invece diventa $- 3 p$ .
Calcola ${(a + 2)}^{2} - (a^{2} + 4 a)$ .
- A $a^{2} + 4$
- B $4$
- C $4 a$
- D $a^{2} + 4 a + 4$
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Risposta giusta: B. $4$
${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4$ ; sottraendo $(a^{2} + 4 a)$ restano solo $4$ . Il distrattore $a^{2} + 4$ nasce dal sottrarre $4 a$ ma dal non sottrarre anche $a^{2}$ contenuto nella parentesi.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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