Matematica · 3ª media · Lezione 12 di 13

Il quadrato di un binomio

Attività su «Il quadrato di un binomio» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole: invece di scrivere $(a + b) (a + b)$ e svolgere i quattro prodotti, si applica una formula fissa. Il risultato è sempre un trinomio: il quadrato del primo termine, il doppio prodotto dei due termini, il quadrato del secondo.

Quadrato di una somma

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

quadrato del primo, più doppio prodotto del primo per il secondo, più quadrato del secondo

Quadrato di una differenza

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

cambia solo il segno del doppio prodotto: i due quadrati restano positivi, perché il quadrato di un numero negativo è positivo

Al contrario

$x^{2} + 10 x + 25$

${(x + 5)}^{2}$

se un trinomio ha due quadrati e il doppio prodotto delle loro basi, si può riscrivere come quadrato di un binomio: qui

x^{2}

25

sono i quadrati di

x

5

, e

10 x

è proprio

2 \cdot x \cdot 5

Il quadrato ha il lato lungo $x + 3$ , quindi la sua area è ${(x + 3)}^{2}$ . Tagliato dove finisce la $x$ , si divide in quattro caselle: il quadrato $x^{2}$ , il quadrato $9$ , e due rettangoli uguali da $3 x$ ciascuno. Quei due rettangoli sono il doppio prodotto, ed è questo il motivo del $2$ nella formula.

Per la differenza il disegno è un altro. Dal quadrato di lato $a$ si tolgono due strisce $a \cdot b$ , una a destra e una in basso: ma il quadratino d'angolo appartiene a tutte e due le strisce, quindi viene tolto due volte. Per questo alla fine va rimesso, e nella formula compare $+ b^{2}$ .

Con un coefficiente davanti alla lettera, il quadrato riguarda tutto il termine: ${(2 x + 3)}^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ , perché il quadrato di $2 x$ è $4 x^{2}$ e il doppio prodotto è $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ .
Con la differenza: ${(y - 3)}^{2} = y^{2} - 6 y + 9$ . Il $9$ è positivo.
La formula si applica solo a un binomio elevato al quadrato. ${(a + b + c)}^{2}$ non è un quadrato di binomio e va svolto con la proprietà distributiva.
Prova con i numeri che il doppio prodotto serve davvero: con $a = 3$ e $b = 4$ , ${(3 + 4)}^{2} = 49$ , mentre $3^{2} + 4^{2} = 25$ . La differenza, $24$ , è esattamente $2 \cdot 3 \cdot 4$ .

L'errore classico è dimenticare il doppio prodotto e scrivere che ${(a + b)}^{2}$ fa $a^{2} + b^{2}$ . Non è vero, e i numeri lo dimostrano in una riga: ${(3 + 4)}^{2}$ fa $49$ , non $25$ . Il secondo errore è cambiare segno anche al quadrato del secondo termine: in ${(a - b)}^{2}$ il termine finale è $+ b^{2}$ , sempre positivo. Nel risultato i termini devono essere tre: se ne compaiono due, manca il doppio prodotto.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Il quadrato di un binomio

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Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione in algebra (PhET, sito esterno): Prova ad usare lo stesso binomio sui due lati del quadrato e osserva come i due rettangoli centrali producono due volte il prodotto misto.

Domande

Sviluppa ${(x + 4)}^{2}$ .
- A $x^{2} + 4 x + 16$
- B $x^{2} + 8 x + 8$
- C $x^{2} + 16$
- D $x^{2} + 8 x + 16$
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Risposta giusta: D. $x^{2} + 8 x + 16$
Il quadrato del primo termine è $x^{2}$ , il doppio prodotto è $2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ e il secondo quadrato è 16: $x^{2} + 8 x + 16$ . Il distrattore $x^{2} + 16$ nasce dall'omettere il doppio prodotto.
Qual è il risultato di ${(y - 3)}^{2}$ ?
- A $y^{2} - 9$
- B $y^{2} - 3 y + 9$
- C $y^{2} - 6 y + 9$
- D $y^{2} + 6 y + 9$
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Risposta giusta: C. $y^{2} - 6 y + 9$
Si ha $y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 9 = y^{2} - 6 y + 9$ . Il distrattore $y^{2} - 3 y + 9$ nasce dal mettere un solo prodotto misto $y \cdot 3$ al posto del doppio prodotto.
Sviluppa ${(2 a + b)}^{2}$ .
- A $4 a^{2} + 4 a b + b^{2}$
- B $4 a^{2} + 2 a b + b^{2}$
- C $2 a^{2} + 4 a b + b^{2}$
- D $4 a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}$
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Risposta giusta: A. $4 a^{2} + 4 a b + b^{2}$
Il primo quadrato è ${(2 a)}^{2} = 4 a^{2}$ , il doppio prodotto è $2 \cdot 2 a \cdot b = 4 a b$ e l'ultimo quadrato è $b^{2}$ . Il distrattore $4 a^{2} + 2 a b + b^{2}$ nasce dal dimenticare il 2 della formula nel prodotto misto.
Calcola ${(x - 5)}^{2}$ .
- A $x^{2} - 5 x + 25$
- B $x^{2} - 25$
- C $x^{2} - 10 x + 25$
- D $x^{2} + 10 x + 25$
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Risposta giusta: C. $x^{2} - 10 x + 25$
Il doppio prodotto è $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ e, essendo una differenza, è negativo: $x^{2} - 10 x + 25$ . Il distrattore $x^{2} + 10 x + 25$ nasce dall'usare il segno più del quadrato di una somma.
Quale sviluppo è corretto per ${(3 m + 2)}^{2}$ ?
- A $9 m^{2} + 6 m + 4$
- B $9 m^{2} + 4 m + 4$
- C $6 m^{2} + 12 m + 4$
- D $9 m^{2} + 12 m + 4$
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Risposta giusta: D. $9 m^{2} + 12 m + 4$
${(3 m)}^{2} = 9 m^{2}$ , il doppio prodotto è $2 \cdot 3 m \cdot 2 = 12 m$ e $2^{2} = 4$ . Il distrattore $9 m^{2} + 6 m + 4$ nasce dal fare $3 m \cdot 2$ una volta sola e dal non raddoppiarlo.
Sviluppa ${(2 p - q)}^{2}$ .
- A $4 p^{2} - 2 p q + q^{2}$
- B $4 p^{2} - 4 p q + q^{2}$
- C $4 p^{2} + 4 p q + q^{2}$
- D $2 p^{2} - 4 p q + q^{2}$
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Risposta giusta: B. $4 p^{2} - 4 p q + q^{2}$
Il doppio prodotto è $2 \cdot 2 p \cdot q = 4 p q$ e nel quadrato di una differenza compare con segno meno: $4 p^{2} - 4 p q + q^{2}$ . Il distrattore $4 p^{2} + 4 p q + q^{2}$ nasce dal non cambiare il segno del termine centrale.
Quale binomio ha quadrato $x^{2} + 14 x + 49$ ?
- A ${(x + 7)}^{2}$
- B ${(x + 49)}^{2}$
- C ${(x - 7)}^{2}$
- D ${(x + 14)}^{2}$
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Risposta giusta: A. ${(x + 7)}^{2}$
$49 = 7^{2}$ e il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 7$ è $14 x$ , quindi il binomio è ${(x + 7)}^{2}$ . Il distrattore ${(x + 49)}^{2}$ nasce dal prendere 49 come secondo termine invece di ricavarne la radice.
Calcola ${(a - 4 b)}^{2}$ .
- A $a^{2} - 4 a b + 16 b^{2}$
- B $a^{2} - 8 a b + 16 b^{2}$
- C $a^{2} - 8 a b + 4 b^{2}$
- D $a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}$
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Risposta giusta: B. $a^{2} - 8 a b + 16 b^{2}$
Il doppio prodotto è $2 \cdot a \cdot 4 b = 8 a b$ e il quadrato di $4 b$ è $16 b^{2}$ , dunque $a^{2} - 8 a b + 16 b^{2}$ . Il distrattore $a^{2} - 8 a b + 4 b^{2}$ nasce dal non elevare al quadrato il coefficiente 4.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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