Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 13

Addizioni e moltiplicazioni con i monomi

Attività su «Addizioni e moltiplicazioni con i monomi» nel percorso «Il calcolo letterale», per la 3ª media.

Teoria in pillole

Con i monomi non tutte le operazioni si comportano allo stesso modo. La moltiplicazione si può fare sempre, fra due monomi qualsiasi. L'addizione invece si può eseguire solo fra monomi simili: se non lo sono, la somma resta indicata e l'espressione è già ridotta.

Addizione, solo fra simili

$5 x y + 3 x y = 8 x y$

si sommano i coefficienti, la parte letterale resta la stessa. La sottrazione funziona allo stesso modo:

5 x y - 3 x y = 2 x y

Moltiplicazione, sempre

$3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = 6 x^{5}$

si moltiplicano i coefficienti fra loro (

3 \cdot 2 = 6

) e si sommano gli esponenti della stessa lettera (

2 + 3 = 5

), perché è la proprietà delle potenze con la stessa base

Nel prodotto, le lettere diverse si scrivono una accanto all'altra senza sommare niente: $4 a \cdot 3 b = 12 a b$ . Con più lettere si tratta ogni lettera per conto suo: $2 x^{2} y \cdot 5 x y^{3} = 10 x^{3} y^{4}$ .
Regola dei segni, la stessa dei numeri interi: $- 3 x \cdot 4 x = - 12 x^{2}$ , mentre $- 3 x \cdot (- 4 x) = 12 x^{2}$ .
Somma fra monomi non simili: $3 x + 2 x^{2}$ è già il risultato. Non si può scrivere più corto, e va lasciato così.
In un'espressione lunga conviene prima raggruppare i simili: $7 a + 4 b - 2 a + b = 5 a + 5 b$ .

L'errore più comune del capitolo è sommare monomi non simili sommando anche gli esponenti: $3 x + 2 x^{2}$ non fa $5 x^{3}$ . Gli esponenti si sommano nella moltiplicazione, mai nell'addizione. Un controllo che smaschera l'errore in dieci secondi: si sostituisce un numero, per esempio $x = 2$ . A sinistra viene $3 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 14$ , dalla parte sbagliata $5 \cdot 8 = 40$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Addizioni e moltiplicazioni con i monomi

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Simulazioni

Espressioni (PhET, sito esterno): Prova a confrontare una somma di monomi con una moltiplicazione distributiva equivalente e osserva come cambia la struttura mantenendo invariato il valore.

Domande

Riduci la somma $4 x + 3 x$ .
- A $7 x$
- B $7 x^{2}$
- C $12 x^{2}$
- D $x$
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Risposta giusta: A. $7 x$
I monomi sono simili, quindi si sommano i coefficienti: $4 + 3 = 7$ e resta $x$ , perciò $7 x$ . $7 x^{2}$ nasce dal sommare gli esponenti come se l'operazione fosse un prodotto: nell'addizione la parte letterale non cambia.
Riduci $5 a^{2} - 8 a^{2}$ .
- A $13 a^{2}$
- B $- 3 a^{2}$
- C $3 a^{2}$
- D $- 40 a^{4}$
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Risposta giusta: B. $- 3 a^{2}$
Si calcolano i coefficienti: $5 - 8 = - 3$ , quindi il risultato è $- 3 a^{2}$ . $13 a^{2}$ deriva dal sommare i valori assoluti $5 + 8$ e dimenticare che il secondo coefficiente è negativo.
Come si riduce $2 x + 3 x^{2}$ ?
- A $2 x + 3 x^{2}$
- B $5 x^{3}$
- C $5 x^{2}$
- D $6 x^{3}$
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Risposta giusta: A. $2 x + 3 x^{2}$
$2 x$ e $3 x^{2}$ non sono simili, perché la parte letterale è diversa: l'espressione resta $2 x + 3 x^{2}$ . $5 x^{3}$ nasce dall'errore di sommare sia coefficienti sia esponenti, una regola che appartiene al prodotto e non alla somma.
Calcola $- 2 x^{3} \cdot 3 x^{2}$ .
- A $- 6 x^{6}$
- B $6 x^{5}$
- C $- 5 x^{5}$
- D $- 6 x^{5}$
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Risposta giusta: D. $- 6 x^{5}$
I coefficienti danno $- 2 \cdot 3 = - 6$ e gli esponenti si sommano: $x^{3} \cdot x^{2} = x^{5}$ , quindi $- 6 x^{5}$ . $6 x^{5}$ nasce dall'aver calcolato correttamente le potenze ma perso il segno negativo del prodotto.
Calcola $4 a^{2} b \cdot (- 3 a b^{3})$ .
- A $- 12 a^{2} b^{3}$
- B $12 a^{3} b^{4}$
- C $- 12 a^{3} b^{4}$
- D $- 7 a^{3} b^{4}$
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Risposta giusta: C. $- 12 a^{3} b^{4}$
Il coefficiente è $4 \cdot (- 3) = - 12$ ; inoltre $a^{2} \cdot a = a^{3}$ e $b \cdot b^{3} = b^{4}$ . Il risultato è $- 12 a^{3} b^{4}$ . $12 a^{3} b^{4}$ viene dagli stessi passaggi ma ignora la regola dei segni.
Calcola $- 5 x \cdot (- 2 x^{3})$ .
- A $- 10 x^{4}$
- B $10 x^{4}$
- C $10 x^{3}$
- D $- 7 x^{3}$
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Risposta giusta: B. $10 x^{4}$
Due coefficienti negativi danno un prodotto positivo: $- 5 \cdot (- 2) = 10$ , e $x \cdot x^{3} = x^{4}$ . Quindi $10 x^{4}$ . $- 10 x^{4}$ nasce dal mantenere il segno meno come se un solo fattore fosse negativo.
Riduci $3 x^{2} - 5 x + 7 x^{2} + 2 x$ .
- A $10 x^{2} + 7 x$
- B $10 x^{4} - 3 x$
- C $5 x^{2} - 3 x$
- D $10 x^{2} - 3 x$
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Risposta giusta: D. $10 x^{2} - 3 x$
Si uniscono separatamente i termini simili: $3 x^{2} + 7 x^{2} = 10 x^{2}$ e $- 5 x + 2 x = - 3 x$ . Il risultato è $10 x^{2} - 3 x$ . $10 x^{4} - 3 x$ nasce dal sommare gli esponenti $2 + 2$ come se i due monomi fossero moltiplicati.
Calcola $(- 2 a^{2}) \cdot (- 3 a) \cdot 4$ .
- A $- 24 a^{3}$
- B $24 a^{2}$
- C $24 a^{3}$
- D $- 9 a^{3}$
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Risposta giusta: C. $24 a^{3}$
I coefficienti danno $- 2 \cdot (- 3) \cdot 4 = 24$ e le lettere danno $a^{2} \cdot a = a^{3}$ , quindi $24 a^{3}$ . $24 a^{2}$ nasce dal non sommare l'esponente $1$ della seconda $a$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra di Algebra: Allenamento sui nuclei del capitolo: monomi, operazioni e calcolo con i polinomi.

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