Matematica · 3ª media · Lezione 1 di 5

Lunghezza della circonferenza

Misurare e calcolare la circonferenza dal diametro o dal raggio; ricavare le misure inverse e risolvere problemi di ruote e semicirconferenze.

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Guarda su YouTube: Lunghezza della circonferenza e pi greco (CampMate)

Teoria in pillole

La lunghezza della circonferenza, indicata con C, misura il contorno di un cerchio. Si esprime in unità di lunghezza, come cm o m. Il diametro d passa per il centro ed è il doppio del raggio r: $d = 2 \cdot r$ .

Il rapporto con il diametro

Avvolgi un filo attorno a un oggetto circolare, distendilo e misura C. Misura poi il diametro d e dividi. Per circonferenze di qualunque dimensione il rapporto esatto è lo stesso numero: π (pi greco).

$\frac{C}{d} = π$

Nelle misure pratiche trovi valori vicini a 3,14. Per esempio, con misure in cm, 12,6 diviso 4 dà 3,15; 31,4 diviso 10 dà 3,14. Le differenze dipendono dalla precisione del filo e del righello: non significano che π cambi da un oggetto all’altro.

C: lunghezza della circonferenza; d: diametro; r: raggio; π è circa 3,14. La linea distesa misura poco più di tre diametri.

Se conosci il diametro

Un coperchio circolare ha diametro 7 cm. Per trovare la lunghezza del suo bordo moltiplica il diametro per π.

$C = π \cdot d$

$C = π \cdot 7 = 7 π$

Il bordo misura esattamente 7π cm. Usando $π \approx 3,14$ , misura circa 21,98 cm.

Se conosci il raggio

Un bracciale circolare ha raggio 4 cm. Prima raddoppia il raggio per ottenere il diametro, oppure usa direttamente la formula con il fattore 2.

$C = 2 \cdot π \cdot r$

$C = 2 \cdot π \cdot 4$

$C = 8 π$

Il bordo misura esattamente 8π cm, circa 25,12 cm usando $π \approx 3,14$ .

Se conosci la circonferenza

Una circonferenza misura esattamente 18π cm. Per ricavare il diametro dividi C per π; per ricavare il raggio dividi C per 2π.

$d = \frac{C}{π}$

$d = \frac{(18 π)}{π} = 18$

Il diametro è 18 cm.

$r = \frac{C}{(2 \cdot π)}$

$r = \frac{(18 π)}{(2 π)} = 9$

Il raggio è 9 cm. Controllo: raddoppiando il raggio si ritrova il diametro.

Una ruota e più giri

Una ruota di raggio 15 cm compie tre giri completi senza slittare. A ogni giro percorre una distanza uguale alla sua circonferenza.

$C = 2 \cdot π \cdot 15$

$C = 30 π$

Un giro corrisponde a 30π cm. Per tre giri:

$D = 3 \cdot C$

$D = 90 π$

La distanza è 90π cm, circa 282,6 cm usando $π \approx 3,14$ . D indica la distanza percorsa.

Arco di metà circonferenza

Una semicirconferenza di raggio 6 cm è metà del contorno circolare. La lunghezza dell’arco non comprende il diametro.

$C = 2 \cdot π \cdot 6 = 12 π$

$l = \frac{C}{2} = 6 π$

L’arco misura 6π cm, circa 18,84 cm usando $π \approx 3,14$ .

Contorno di un semicerchio

Se devi bordare una sagoma di cartoncino a forma di semicerchio di raggio 6 cm, il contorno chiuso comprende l’arco e il diametro. Il diametro misura 12 cm.

$P = \frac{C}{2} + d$

$P = 6 π + 12$

Il perimetro è (6π + 12) cm, circa 30,84 cm usando $π \approx 3,14$ . P indica il perimetro del contorno chiuso.

Stessa unità prima di calcolare: un diametro di 2 dm corrisponde a 20 cm. La circonferenza si può scrivere 2π dm oppure 20π cm.
Controllo rapido: C deve essere poco più di tre volte d. Con diametro 10 cm, una circonferenza di circa 31,4 cm è coerente; 15,7 cm indica che è stato usato il raggio al posto del diametro.
Pi greco conservato o sostituito: 8π cm è esatto; 25,12 cm è un’approssimazione ottenuta con π ≈ 3,14. Approfondiremo π nella lezione successiva.

Non usare $π \cdot r$ per la circonferenza: manca il fattore 2. Non scambiare il dato del raggio con quello del diametro. Una lunghezza si scrive in cm, non in cm²; metà circonferenza e perimetro del semicerchio sono richieste diverse.

La mappa

La sintesi raccoglie le idee principali. Apri la mappa completa per leggere regole, esempi e controlli.

Mappa mentale: Lunghezza della circonferenza

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Simulazioni

Lo spago e la circonferenza: Scegli un oggetto, misura il diametro, avvolgi lo spago e stendilo. Registra le misure di almeno tre cerchi e confronta il rapporto fra C e d.

Domande

Un disco ha diametro 5 cm. Usando π ≈ 3,14, quanto misura la circonferenza?
- A 15,7 cm
- B 31,4 cm
- C 7,85 cm
- D 78,5 cm
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Risposta giusta: A. 15,7 cm
$C \approx 3,14 \cdot 5 = 15,7$ cm. 7,85 usa il raggio 2,5 cm come diametro; 31,4 raddoppia il diametro nella formula; 78,5 eleva il diametro al quadrato.
Una circonferenza ha raggio 3 cm. Qual è la lunghezza esatta?
- A 3π cm
- B 9π cm
- C 6π cm
- D 12π cm
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Risposta giusta: C. 6π cm
$C = 2 \cdot π \cdot 3 = 6 π$ cm. 3π dimentica il fattore 2; 9π eleva il raggio al quadrato; 12π usa il diametro 6 come raggio.
Una circonferenza misura esattamente 14π cm. Quanto misura il diametro?
- A 28 cm
- B 7 cm
- C 14π cm
- D 14 cm
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Risposta giusta: D. 14 cm
$d = \frac{(14 π)}{π} = 14$ cm. 7 è il raggio; 28 raddoppia C/π; 14π non divide per π.
Una circonferenza misura esattamente 10π cm. Quanto misura il raggio?
- A 5 cm
- B 20 cm
- C 5π cm
- D 10 cm
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Risposta giusta: A. 5 cm
$r = \frac{(10 π)}{(2 π)} = 5$ cm. 10 è il diametro; 20 raddoppia il diametro; 5π divide C soltanto per 2 e non per π.
Quale rapporto ha lo stesso valore esatto per tutte le circonferenze?
- A $C \cdot d = π$
- B $\frac{d}{C} = π$
- C $\frac{C}{r} = π$
- D $\frac{C}{d} = π$
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Risposta giusta: D. $\frac{C}{d} = π$
Il rapporto esatto fra circonferenza e diametro è π. $\frac{C}{r} = 2 π$ ; $\frac{d}{C} = \frac{1}{π}$ ; il prodotto C·d cambia con le dimensioni.
Una ruota ha diametro 20 cm e compie tre giri senza slittare. Qual è la distanza esatta?
- A 20π cm
- B 60π cm
- C 120π cm
- D 600π cm
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Risposta giusta: B. 60π cm
Un giro misura $C = π \cdot 20 = 20 π$ cm. Tre giri danno $D = 3 \cdot 20 π = 60 π$ cm. 20π conta un giro; 120π usa il diametro come raggio; 600π moltiplica anche per il raggio 10.
Una semicirconferenza ha raggio 4 cm. Quanto misura il solo arco?
- A 2π cm
- B (4π + 8) cm
- C 4π cm
- D 8π cm
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Risposta giusta: C. 4π cm
La circonferenza intera è 8π cm, quindi l’arco, che ne è la metà, misura 4π cm. 8π è il contorno intero; 4π+8 include anche il diametro del semicerchio; 2π dimezza due volte.
Un semicerchio ha raggio 5 cm. Qual è il perimetro del contorno chiuso?
- A (10π + 10) cm
- B (5π + 10) cm
- C 5π cm
- D (5π + 5) cm
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Risposta giusta: B. (5π + 10) cm
L’arco misura metà di 10π, quindi 5π cm. Il diametro misura 10 cm. Il perimetro è la somma. 5π omette il diametro; 10π+10 usa l’intera circonferenza; 5π+5 aggiunge il raggio invece del diametro.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra del Cerchio: Da soli, con carta e penna: circonferenza e area, esatto o approssimato, problemi e formule inverse, archi e settori, corona e segmento. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

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