Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 5

Il numero π

Riconoscere π come numero irrazionale, stimarlo con i poligoni e distinguere misure esatte e approssimate.

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Guarda su YouTube: Il significato di pi greco (terza media) (Prof di Mate Online)

Teoria in pillole

π (pi greco) è il numero che esprime il rapporto fra la lunghezza di ogni circonferenza e il suo diametro. In questa lezione impariamo perché un numero decimale finito non lo rappresenta esattamente e come scegliere un’approssimazione nei calcoli.

Un numero irrazionale

π è un numero irrazionale: non si può scrivere come frazione di due numeri interi con denominatore diverso da zero. Il suo sviluppo decimale è infinito e non periodico: non c’è un blocco di cifre che, da un certo punto, si ripeta per sempre.

$π \approx 3,14159265$

Questo è soltanto un valore approssimato: le cifre continuano. Il rapporto $\frac{C}{d}$ riguarda due lunghezze; non garantisce che C e d siano entrambi numeri interi. Perciò quel rapporto non contraddice l’irrazionalità di π.

Stimare π con i poligoni

Considera un cerchio di raggio 1 cm, quindi diametro 2 cm. Il perimetro dell’esagono regolare inscritto, in verde, è più corto della circonferenza azzurra; quello dell’esagono circoscritto, in arancione, è più lungo.

L’esagono inscritto ha perimetro 6 cm. Quello circoscritto ha perimetro $4 \cdot \sqrt{3}$ cm. Dividendo i due perimetri per il diametro 2 cm si ottengono un limite inferiore e uno superiore:

$π > 3$

$2 \cdot \sqrt{3} > π$

Il limite superiore vale circa 3,4641: la stima iniziale è ancora larga.

Più lati, stime più vicine

Raddoppiando i lati dei poligoni regolari, da 6 a 12 e poi a 24, il bordo del poligono inscritto si avvicina alla circonferenza dall’interno; quello circoscritto si avvicina dall’esterno. Le due stime diventano più vicine.

Si può aumentare ancora il numero dei lati e ottenere più precisione. Qualunque scrittura con un numero finito di cifre decimali resta però un’approssimazione di π.

Arrotondare π

L’inizio dello sviluppo decimale è 3,1415926535… Per arrotondare guarda la prima cifra che scarti. Ecco tre scelte comuni:

$π \approx 3$

All’unità: la prima cifra scartata è 1, quindi 3 resta 3.

$π \approx 3,14$

Ai centesimi: la prima cifra scartata è 1, quindi il 4 resta 4.

$π \approx 3,1416$

A quattro cifre decimali: la prima cifra scartata è 9, quindi la quarta cifra decimale passa da 5 a 6.

Il segno ≈ significa circa uguale. π è fra 3,14 e 3,15; i valori 3,14 e 3,1416 non sono entrambi uguali al numero esatto.

Valore esatto e due approssimazioni

Una circonferenza ha diametro 12 cm. Lasciando π nella formula ottieni una misura esatta.

$C = π \cdot 12 = 12 π$

12π cm è il valore esatto. Se usi $π \approx 3,14$ :

$C \approx 3,14 \cdot 12$

$C \approx 37,68$

La misura è circa 37,68 cm. Se usi $π \approx 3,1416$ :

$C \approx 3,1416 \cdot 12$

$C \approx 37,6992$

La misura è circa 37,6992 cm. I due risultati differiscono di 0,0192 cm; il secondo è più vicino al valore esatto. Usa l’approssimazione richiesta e arrotonda il risultato soltanto alla fine.

La frazione 22/7 non è π

La frazione 22/7 ha uno sviluppo decimale infinito ma periodico: il blocco 142857 si ripete. Quindi è un numero razionale. Può servire come approssimazione, ma non coincide con π.

$\frac{22}{7} \approx 3,142857$

$π \approx 3,141593$

Le due scritture sono arrotondate a sei cifre decimali e mostrano valori diversi. «Infinito» da solo non basta per riconoscere un numero irrazionale: conta anche che il decimale non sia periodico.

Riconosci la richiesta: «valore esatto» significa conservare π; «usa π ≈ 3,14» significa sostituire il valore indicato e dare un risultato approssimato.
Non confondere arrotondamento e troncamento: a tre cifre decimali π si arrotonda a 3,142, non a 3,141.
Con la calcolatrice: il tasto π usa più cifre di 3,14. Il numero di cifre mostrato sullo schermo è comunque finito.

Non scrivere $π = 3,14$ e non identificare π con 22/7. Scrivi $π \approx 3,14$ quando lo sostituisci. Non dire che π è irrazionale soltanto perché ha infinite cifre: anche un decimale periodico può avere infinite cifre.

La mappa

La sintesi raccoglie le idee principali. Apri la mappa completa per leggere regole, esempi e controlli.

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Simulazioni

Stimare π con i poligoni: Raddoppia i lati da 6 a 96 e guarda le due stime di π avvicinarsi. Poi confronta i risultati che ottieni con 3, 3,14, 3,1416 e 22/7.

Domande

Quale descrizione di π è corretta?
- A Il suo decimale è infinito e non periodico
- B È uguale a 3,14
- C Ha un decimale infinito e periodico
- D È la frazione 22/7
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Risposta giusta: A. Il suo decimale è infinito e non periodico
π è irrazionale: decimale infinito non periodico. 3,14 e 22/7 sono approssimazioni razionali, non valori esatti di π.
Come si arrotonda π a tre cifre decimali?
- A 3,143
- B 3,141
- C 3,142
- D 3,14
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Risposta giusta: C. 3,142
Lo sviluppo inizia 3,141592… Alla terza cifra decimale c’è 1 e la prima cifra scartata è 5: si arrotonda a 3,142. 3,141 tronca; 3,14 usa due cifre; 3,143 aumenta troppo.
Una circonferenza ha diametro 9 cm. Qual è il valore esatto della lunghezza?
- A 18π cm
- B 9 cm
- C 9π cm
- D 28,26 cm
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Risposta giusta: C. 9π cm
La formula è $C = π \cdot d$ , quindi 9π cm. 28,26 usa π≈3,14 ed è approssimato; 18π raddoppia il diametro; 9 omette π.
Per C = 10π cm, quale valore ottieni usando π ≈ 3,1416?
- A 31,4160π cm
- B 3,1416 cm
- C 31,4 cm
- D 31,416 cm
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Risposta giusta: D. 31,416 cm
$C \approx 10 \cdot 3,1416 = 31,416$ cm. 31,4 usa 3,14; 31,4160π conserva π anche dopo averlo sostituito; 3,1416 omette il fattore 10.
Quale scrittura indica correttamente un’approssimazione?
- A $π = 3,1416$
- B $π \approx 3,14$
- C $π = \frac{22}{7}$
- D $π = 3,14$
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Risposta giusta: B. $π \approx 3,14$
≈ indica circa uguale. I tre valori finiti o razionali delle altre opzioni non coincidono esattamente con π, quindi il segno = è sbagliato.
Che cosa si ottiene aumentando i lati di poligoni regolari inscritti e circoscritti?
- A Una circonferenza di raggio diverso
- B La prova che π è un intero
- C Lo stesso perimetro per tutti i poligoni
- D Due stime della circonferenza sempre più vicine
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Risposta giusta: D. Due stime della circonferenza sempre più vicine
La circonferenza di riferimento è la stessa: i poligoni hanno più lati e i perimetri si avvicinano al contorno dall’interno e dall’esterno. Questo migliora le stime, non cambia il raggio né la natura di π.
Perché 22/7 non coincide con π?
- A 22/7 è razionale e periodico, π è irrazionale
- B Perché 22/7 ha un decimale finito
- C Perché 22/7 è minore di 3
- D Perché 22/7 è uguale a 3,14
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. 22/7 è razionale e periodico, π è irrazionale
22/7 è circa 3,142857 e il suo blocco decimale si ripete. Non è minore di 3 né uguale a 3,14; non ha un decimale finito. π ha un decimale non periodico.
Per un diametro di 8 cm, quanto differiscono i risultati ottenuti con 3,14 e 3,1416?
- A 0,128 cm
- B 0,0128 cm
- C 0,016 cm
- D 0,0016 cm
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Risposta giusta: B. 0,0128 cm
I risultati sono 25,12 cm e 25,1328 cm; la differenza è 0,0128 cm. 0,0016 confronta solo le approssimazioni di π; 0,128 sbaglia una posizione decimale; 0,016 moltiplica la differenza per 10 invece che per 8.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra del Cerchio: Da soli, con carta e penna: circonferenza e area, esatto o approssimato, problemi e formule inverse, archi e settori, corona e segmento. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

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