Matematica · 3ª media · Lezione 7 di 7

La circonferenza e il teorema di Pitagora

La perpendicolare dal centro dimezza la corda e costruisce un triangolo rettangolo: il raggio fa da ipotenusa, la distanza dal centro e mezza corda fanno da cateti.

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Teoria in pillole

Di una corda si conoscono spesso due misure su tre: la sua lunghezza, la sua distanza dal centro, il raggio della circonferenza. La terza non si misura con il righello, si calcola. Lo strumento è un triangolo rettangolo che nella figura c'è già, anche se nessuno lo ha disegnato.

Si parte dal triangolo formato dalla corda $AB$ e dai due raggi $OA$ e $OB$ . Quel triangolo è isoscele, perché i due raggi sono uguali; e in un triangolo isoscele l'altezza condotta sulla base cade nel suo punto medio. Ecco perché la perpendicolare $OH$ condotta dal centro alla corda la divide in due parti uguali.

Per trovare il raggio

$r^{2} = {OH}^{2} + {AH}^{2}$

nel triangolo rettangolo

OHA

il raggio

OA

è l'ipotenusa: si sommano i quadrati dei due cateti

Per trovare un cateto

${AH}^{2} = r^{2} - {OH}^{2}$

è la stessa relazione con un'altra incognita isolata: dal quadrato dell'ipotenusa si sottrae quello del cateto noto

La corda entra nel triangolo a metà: se $AB = 48 cm$ , il cateto è $AH = 48 : 2 = 24 cm$ .
Per trovare il raggio, noti la corda $AB = 48 cm$ e la distanza $OH = 7 cm$ : si calcola $AH = 24 cm$ , poi $r^{2} = 7^{2} + 24^{2}$ , cioè $r^{2} = 49 + 576 = 625$ , e infine $r = 25 cm$ .
Per trovare la corda, noti il raggio $r = 17 cm$ e la distanza $OH = 8 cm$ : si isola il cateto, ${AH}^{2} = 17^{2} - 8^{2}$ , cioè ${AH}^{2} = 289 - 64 = 225$ , quindi $AH = 15 cm$ e la corda intera è $AB = 2 \cdot 15 = 30 cm$ .
Quando si cerca un cateto si sottraggono i quadrati prima di estrarre la radice, mai i numeri fra loro.

Nel triangolo entra metà corda, non la corda intera. Usare $AB$ al posto di $AH$ è l'errore più frequente, e non si vede dal risultato: il numero che esce è plausibile, e semplicemente non è quello giusto.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: La circonferenza e il teorema di Pitagora

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Domande

Nel triangolo rettangolo formato dal centro, da un estremo della corda e dal punto medio della corda, quale segmento è l'ipotenusa?
- A La distanza dal centro alla corda
- B Il raggio
- C Metà della corda
- D La corda intera
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Risposta giusta: B. Il raggio
Il raggio congiunge il centro con l'estremo della corda, cioè il vertice opposto all'angolo retto: è sempre l'ipotenusa. Distanza e metà corda sono i due cateti, mentre la corda intera non è nemmeno un lato di questo triangolo.
Che effetto ha il segmento perpendicolare condotto dal centro a una corda?
- A Divide la corda in due parti diverse fra loro
- B È parallelo alla corda e non la interseca
- C Coincide con metà del raggio
- D Divide la corda in due parti uguali
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Risposta giusta: D. Divide la corda in due parti uguali
La perpendicolare condotta dal centro dimezza sempre la corda: è questa proprietà a generare il cateto «metà corda» del triangolo rettangolo. Chi la immagina parallela alla corda, o pensa che la divida in parti diverse, contraddice il fatto che la interseca esattamente nel punto medio.
Quale relazione lega correttamente il raggio $r$ , la distanza dal centro $d$ e la corda $c$ ?
- A $r^{2} = d^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$
- B $r^{2} = d^{2} + c^{2}$
- C $r^{2} = d^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}$
- D ${(\frac{c}{2})}^{2} = r^{2} + d^{2}$
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Risposta giusta: A. $r^{2} = d^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$
Il raggio è l'ipotenusa, quindi il suo quadrato è la somma dei quadrati dei due cateti, distanza e metà corda: $r^{2} = d^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$ . Usare la corda intera al posto della sua metà, sottrarre invece di sommare, o scambiare quale segmento è l'ipotenusa portano tutti a una relazione sbagliata.
Per trovare la distanza $d$ conoscendo il raggio $r$ e la metà della corda $\frac{c}{2}$ , quale procedimento è corretto?
- A Sommare i quadrati di $r$ e $\frac{c}{2}$ , poi calcolare la radice quadrata
- B Sottrarre direttamente $\frac{c}{2}$ da $r$ , senza elevare al quadrato
- C Sottrarre il quadrato di $\frac{c}{2}$ da quello di $r$ , poi calcolare la radice quadrata
- D Sottrarre il quadrato di $\frac{c}{2}$ da quello di $r$ , senza calcolare la radice
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Risposta giusta: C. Sottrarre il quadrato di $\frac{c}{2}$ da quello di $r$ , poi calcolare la radice quadrata
La distanza è un cateto: si isola sottraendo dal quadrato dell'ipotenusa $r$ quello dell'altro cateto $\frac{c}{2}$ , e solo alla fine si estrae la radice quadrata. Sommare invece di sottrarre tratta $d$ come se fosse l'ipotenusa, mentre fermarsi prima della radice lascia il risultato ancora elevato al quadrato.
Una corda lunga $c = 16 cm$ dista $d = 6 cm$ dal centro di un cerchio. Quanto misura il raggio $r$ ?
- A $100 cm$
- B circa $17,1 cm$
- C circa $5,3 cm$
- D $10 cm$
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Risposta giusta: D. $10 cm$
Il raggio è l'ipotenusa: si sommano i quadrati di distanza e metà corda ( $6^{2} + 8^{2} = 100$ ) e si estrae la radice quadrata, ottenendo $10 cm$ . Chi non estrae la radice resta fermo a $100$ , e chi usa l'intera corda invece della sua metà somma $16^{2}$ al posto di $8^{2}$ , ottenendo un valore troppo grande.
In un cerchio il raggio è lungo $r = 15 cm$ e una corda è lunga $c = 18 cm$ . Quanto dista la corda dal centro?
- A $144 cm$
- B $12 cm$
- C circa $17,5 cm$
- D $6 cm$
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Risposta giusta: B. $12 cm$
La distanza è un cateto: si sottrae il quadrato di metà corda da quello del raggio ( $15^{2} - 9^{2} = 144$ ) e si estrae la radice quadrata, ottenendo $12 cm$ . Sommare invece di sottrarre tratterebbe $d$ come ipotenusa, mentre fermarsi a $144$ significa dimenticare la radice quadrata finale.
Un cerchio ha raggio $r = 17 cm$ e una corda che dista $d = 8 cm$ dal centro. Quanto è lunga l'intera corda $c$ ?
- A $30 cm$
- B $225 cm$
- C circa $37,6 cm$
- D $15 cm$
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Risposta giusta: A. $30 cm$
Il triangolo dà solo la metà della corda: sottraendo $8^{2}$ da $17^{2}$ ed estraendo la radice quadrata si ottiene $\frac{c}{2} = 15 cm$ , quindi la corda intera è $2 \cdot 15 cm = 30 cm$ . Chi si ferma a $15 cm$ dimentica di raddoppiare, e chi non estrae la radice resta fermo al valore $225$ , cioè il quadrato prima della radice.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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