Osservazioni sulla circonferenza · 3ª media

Di che cosa parla il capitolo

Per disegnare una circonferenza bastano due informazioni: dove sta il centro e quanto vale il raggio. Da lì in poi tutte le altre misure della figura non si misurano con il righello, si ricavano.

Le distanze

$OP = r$

un punto

P

sta sulla circonferenza quando la sua distanza dal centro

O

vale esattamente il raggio: da qui nascono corde, diametri e le tre posizioni possibili di una retta

Gli angoli

$α_{c} = 2 \cdot α_{i}$

l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che guarda lo stesso arco: da qui nascono i poligoni inscritti e i quadrilateri

Prima gli elementi (raggio, diametro, corda, arco) e le tre posizioni di una retta rispetto alla circonferenza, fino alla tangente.
Poi gli angoli: quello al centro e quello alla circonferenza, quando guardano lo stesso arco.
Poi i poligoni, con una circonferenza attorno o dentro, e i quadrilateri che ci stanno.
Infine il teorema di Pitagora applicato al triangolo formato da raggio, metà corda e distanza della corda dal centro.

Alla fine del capitolo, di una figura circolare sai ricavare una misura che nel disegno non è scritta, partendo da quelle che ci sono.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

Quiz di fine capitolo

Che cos'è la circonferenza?
- A L'insieme dei punti del piano che si trovano a distanza dal centro minore o uguale al raggio.
- B Il punto interno che ha la stessa distanza da ogni punto del bordo curvo.
- C L'insieme dei punti del piano che si trovano tutti alla stessa distanza da un punto detto centro.
- D Il segmento che unisce due punti opposti della figura passando per il centro.
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Risposta giusta: C. L'insieme dei punti del piano che si trovano tutti alla stessa distanza da un punto detto centro.
La circonferenza è una linea: raccoglie solo i punti che stanno esattamente alla stessa distanza dal centro. La prima opzione descrive invece il cerchio, che include anche tutti i punti più vicini al centro, cioè la regione interna.
Qual è la relazione corretta tra il diametro $d$ e il raggio $r$ di una circonferenza?
- A $d = 2 \cdot r$
- B $d = r : 2$
- C $d = r + 2$
- D $d = r^{2}$
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Risposta giusta: A. $d = 2 \cdot r$
Il diametro attraversa il centro ed è sempre il doppio del raggio, quindi si ottiene moltiplicando $r$ per $2$ . Chi sceglie $d = r : 2$ confonde il raddoppio con il dimezzamento e ottiene un segmento più corto invece che più lungo.
Un punto si trova esattamente a metà strada tra il centro e un punto della circonferenza. A quale figura appartiene questo punto?
- A Solo alla circonferenza, perché comunque mantiene una distanza fissa dal centro.
- B Sia alla circonferenza sia al cerchio.
- C Né alla circonferenza né al cerchio, perché non si trova sul bordo.
- D Solo al cerchio, perché è un punto della regione interna.
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Risposta giusta: D. Solo al cerchio, perché è un punto della regione interna.
Il punto è a metà del raggio dal centro, quindi non ha la distanza esatta $r$ richiesta per stare sulla circonferenza e cade nella regione interna, che appartiene al cerchio. Pensare che non essere sul bordo significhi non appartenere a nessuna delle due figure dimentica che il cerchio comprende anche l'interno.
Una retta ha esattamente un punto in comune con una circonferenza. Come si chiama questa retta rispetto alla circonferenza?
- A Secante
- B Tangente
- C Esterna
- D Perpendicolare
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Risposta giusta: B. Tangente
Una retta con un solo punto in comune è tangente alla circonferenza: la tocca senza attraversarla. La secante ne ha due, l'esterna nessuno, mentre perpendicolare descrive un angolo e non il numero di punti in comune.
La regola secondo cui l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro è valida:
- A Solo se i due angoli insistono sullo stesso arco.
- B Sempre, qualunque arco scelgano i due angoli.
- C Solo se l'angolo al centro supera $180 °$ .
- D Solo quando la corda corrispondente passa per il centro.
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Risposta giusta: A. Solo se i due angoli insistono sullo stesso arco.
Il rapporto due a uno collega un angolo al centro e un angolo alla circonferenza solo quando insistono sullo stesso arco: cambiando arco questa relazione non vale più. Applicare il dimezzamento a due angoli che guardano archi diversi porta a un risultato sbagliato, anche se il calcolo sembra corretto.
Raggio, metà corda e distanza della corda dal centro formano un triangolo rettangolo. Quale dei tre segmenti è l'ipotenusa?
- A La metà corda
- B La distanza dal centro
- C Il diametro
- D Il raggio
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Risposta giusta: D. Il raggio
Il raggio unisce il centro a un punto della circonferenza ed è il lato più lungo di quel triangolo: nella relazione $r^{2} = d^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}$ è infatti l'unico termine isolato, cioè l'ipotenusa. Il diametro non è nemmeno uno dei tre segmenti coinvolti: è il doppio del raggio, non un lato del triangolo.
In una circonferenza, l'angolo al centro che insiste su un certo arco misura $86 °$ . Quanto misura l'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco?
- A $172 °$
- B $86 °$
- C $43 °$
- D $44 °$
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Risposta giusta: C. $43 °$
L'angolo alla circonferenza è sempre la metà del corrispondente angolo al centro sullo stesso arco, quindi $86 ° : 2 = 43 °$ . Chi risponde $86 °$ pensa che i due angoli siano uguali solo perché condividono l'arco, e chi risponde $172 °$ raddoppia invece di dimezzare.
Una circonferenza ha raggio $r = 13 cm$ . Una corda dista $d = 5 cm$ dal centro. Quanto è lunga la corda?
- A $18 cm$
- B $24 cm$
- C $16 cm$
- D $12 cm$
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Risposta giusta: B. $24 cm$
Metà corda, raggio e distanza dal centro formano un triangolo rettangolo con ipotenusa $r$ , quindi metà corda vale $\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144} = 12 cm$ e la corda intera è $2 \cdot 12 = 24 cm$ . Chi si ferma a $12 cm$ ha calcolato solo la metà corda dimenticando di raddoppiarla, come se fosse già la corda intera.