Matematica · 3ª media · Lezione 3 di 7

Angoli al centro e alla circonferenza

Sullo stesso arco l'angolo al centro è sempre il doppio di quello alla circonferenza: da qui segue che un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.

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Teoria in pillole

Due angoli guardano lo stesso pezzo di circonferenza da due posti diversi. L'angolo al centro ha il vertice nel centro e per lati due raggi. L'angolo alla circonferenza ha il vertice su un punto della circonferenza e per lati due corde. Si possono confrontare soltanto quando insistono sullo stesso arco, cioè quando i loro lati arrivano agli stessi due punti.

Sullo stesso arco

$α_{c} = 2 \cdot α_{i}$

α_{c}

è l'angolo al centro e

α_{i}

quello alla circonferenza: il primo è sempre il doppio del secondo, purché guardino lo stesso arco

Sul diametro

$α_{i} = 90 °$

se l'arco è una semicirconferenza, cioè se i due lati arrivano agli estremi di un diametro, l'angolo alla circonferenza è retto

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti fra loro: hanno la stessa ampiezza anche se il vertice si sposta.
Individua sempre l'arco prima di raddoppiare o dimezzare: è la condizione della regola, non un dettaglio.
Se l'angolo al centro misura $100 °$ , quello alla circonferenza sullo stesso arco misura $100 ° : 2 = 50 °$ . Al contrario, da $α_{i} = 42 °$ si ricava $α_{c} = 2 \cdot 42 ° = 84 °$ .

Il rapporto due a uno vale solo fra angoli che insistono sullo stesso arco. Se i due angoli guardano archi diversi, dall'uno non si ricava l'altro: i dati non bastano, e raddoppiare o dimezzare darebbe un numero sbagliato.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Angoli al centro e alla circonferenza

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Domande

Che differenza c'è tra un angolo al centro e un angolo alla circonferenza?
- A L'angolo al centro ha il vertice sulla circonferenza, l'angolo alla circonferenza ha il vertice nel centro
- B L'angolo al centro ha il vertice nel centro della circonferenza, l'angolo alla circonferenza ha il vertice su un punto della circonferenza
- C Entrambi hanno il vertice nel centro della circonferenza
- D Entrambi hanno il vertice su un punto della circonferenza
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Risposta giusta: B. L'angolo al centro ha il vertice nel centro della circonferenza, l'angolo alla circonferenza ha il vertice su un punto della circonferenza
Il nome stesso indica la posizione del vertice: l'angolo al centro ha vertice nel centro della circonferenza, l'angolo alla circonferenza ha vertice su un punto della circonferenza. Chi scambia le due posizioni confonde i due angoli.
Per poter dire che un angolo al centro è il doppio di un angolo alla circonferenza, quale condizione deve essere rispettata?
- A I due angoli devono avere lo stesso vertice
- B I due angoli devono essere entrambi acuti
- C La circonferenza deve avere il raggio di $10 cm$ o più
- D I due angoli devono insistere sullo stesso arco
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Risposta giusta: D. I due angoli devono insistere sullo stesso arco
La relazione $α_{c} = 2 \cdot α_{i}$ vale soltanto quando l'angolo al centro e l'angolo alla circonferenza insistono sullo stesso arco. Avere lo stesso vertice o essere acuti non è la condizione richiesta: ciò che conta è l'arco su cui i due angoli insistono.
In una circonferenza, tre angoli alla circonferenza diversi insistono tutti sullo stesso arco. Come sono tra loro questi tre angoli?
- A Sono congruenti, cioè hanno tutti la stessa ampiezza
- B Sono uno il doppio dell'altro, a due a due
- C Sono supplementari, cioè la loro somma è $180 °$
- D Non hanno nessuna relazione fissa tra loro
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Risposta giusta: A. Sono congruenti, cioè hanno tutti la stessa ampiezza
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti: il vertice può stare in punti diversi della circonferenza, ma l'ampiezza dell'angolo non cambia. Il rapporto due a uno vale solo tra l'angolo al centro e un angolo alla circonferenza, non tra due angoli alla circonferenza.
Un angolo alla circonferenza insiste su un arco che è esattamente una semicirconferenza. Quanto misura questo angolo?
- A $180 °$ , perché l'arco è metà della circonferenza
- B Non si può stabilirlo senza conoscere il raggio
- C $90 °$ , perché è un angolo retto
- D $45 °$ , perché è la metà di un angolo retto
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Risposta giusta: C. $90 °$ , perché è un angolo retto
Quando l'arco su cui insiste l'angolo alla circonferenza è una semicirconferenza, l'angolo inscritto è retto e misura $90 °$ . Chi risponde $180 °$ confonde l'ampiezza dell'arco con quella dell'angolo alla circonferenza.
Un angolo alla circonferenza insiste su un arco e misura $42 °$ . Quanto misura l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco?
- A $84 °$
- B $21 °$
- C $168 °$
- D $42 °$
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Risposta giusta: A. $84 °$
L'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza sullo stesso arco, quindi $42 ° \cdot 2 = 84 °$ . Chi risponde $21 °$ ha dimezzato invece di raddoppiare, invertendo il verso della relazione.
L'angolo al centro che insiste su un certo arco misura $96 °$ . Quanto misura un angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco?
- A $192 °$
- B $24 °$
- C $96 °$
- D $48 °$
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Risposta giusta: D. $48 °$
L'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro sullo stesso arco, quindi $96 ° : 2 = 48 °$ . Chi risponde $192 °$ ha raddoppiato invece di dimezzare, applicando la relazione al contrario.
In una circonferenza, un angolo al centro misura $80 °$ e insiste su un certo arco. Un angolo alla circonferenza ha il vertice sulla circonferenza, ma insiste su un arco diverso da quello dell'angolo al centro. Quanto misura questo angolo alla circonferenza?
- A $40 °$
- B Non si può stabilirlo con i dati forniti, perché i due angoli insistono su archi diversi
- C $160 °$
- D $80 °$
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Risposta giusta: B. Non si può stabilirlo con i dati forniti, perché i due angoli insistono su archi diversi
La relazione tra angolo al centro e angolo alla circonferenza vale solo se i due angoli insistono sullo stesso arco. Qui i due angoli insistono su archi diversi, quindi non si può calcolare l'ampiezza dell'angolo alla circonferenza con i dati forniti. Chi risponde $40 °$ applica comunque il rapporto due a uno, anche se gli archi non coincidono.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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