Matematica · 3ª media · Lezione 4 di 7

Circonferenze e quadrilateri

Quando i quattro vertici di un quadrilatero stanno sulla stessa circonferenza, gli angoli opposti diventano supplementari: una proprietà che serve a trovare un angolo e a riconoscere se la figura è davvero inscritta.

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Teoria in pillole

Un quadrilatero si dice inscritto in una circonferenza, o ciclico, quando tutti e quattro i suoi vertici stanno sulla circonferenza. Non è un caso raro né automatico: la maggior parte dei quadrilateri non ci sta.

$α + γ = 180 °$

$β + δ = 180 °$

in un quadrilatero inscritto ogni coppia di angoli opposti forma un angolo piatto:

α

con

γ

, e

β

con

δ

Il motivo viene dalla lezione precedente: due angoli opposti sono angoli alla circonferenza che insistono su archi diversi, e i due archi insieme fanno l'intera circonferenza. La loro somma è quindi la metà di $360 °$ , cioè $180 °$ .
Per trovare un angolo si sottrae il suo opposto da $180 °$ : se $α = 85 °$ , allora $γ = 180 ° - 85 ° = 95 °$ .
Le due coppie sono indipendenti: da $α$ si ricava solo $γ$ , non $β$ né $δ$ .
Prima di applicare la regola, controlla che il quadrilatero sia davvero inscritto: bastano i quattro vertici sulla circonferenza, ma servono tutti e quattro.

La proprietà non vale per un quadrilatero qualsiasi. Se anche un solo vertice non sta sulla circonferenza, gli angoli opposti non sono più supplementari, e usare la regola porta a un risultato sbagliato senza che nulla lo segnali.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Circonferenze e quadrilateri

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Domande

Che cosa caratterizza un quadrilatero ciclico?
- A Ha tutti e quattro gli angoli retti.
- B Ha i lati opposti paralleli a due a due.
- C Ha le due diagonali perpendicolari tra loro.
- D Tutti i suoi quattro vertici stanno sulla stessa circonferenza.
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Risposta giusta: D. Tutti i suoi quattro vertici stanno sulla stessa circonferenza.
Il termine ciclico indica che tutti e quattro i vertici appartengono a un'unica circonferenza: è questa condizione a definire la figura, non la forma degli angoli o dei lati.
In un quadrilatero ciclico, come sono tra loro due angoli opposti?
- A Complementari: la loro somma è $90 °$ .
- B Supplementari: la loro somma è $180 °$ .
- C Congruenti: hanno la stessa ampiezza.
- D La loro somma è sempre $360 °$ .
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Risposta giusta: B. Supplementari: la loro somma è $180 °$ .
La teoria dice che ogni coppia di angoli opposti completa un angolo piatto: la loro somma è $180 °$ , non $90 °$ né $360 °$ , che invece è la somma di tutti e quattro gli angoli del quadrilatero.
Hai un quadrilatero qualsiasi, ma non sai se è ciclico. Puoi comunque affermare che i suoi angoli opposti sono supplementari?
- A Sì, vale per qualsiasi quadrilatero.
- B No: vale solo se il quadrilatero ha tutti i lati uguali.
- C No: la proprietà vale solo se il quadrilatero è ciclico, cioè con tutti i vertici sulla stessa circonferenza.
- D No: vale solo se il quadrilatero ha le diagonali uguali tra loro.
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Risposta giusta: C. No: la proprietà vale solo se il quadrilatero è ciclico, cioè con tutti i vertici sulla stessa circonferenza.
La proprietà degli angoli opposti supplementari è legata alla circonferenza: si può usare solo dopo aver verificato che il quadrilatero è inscritto, cioè con tutti i vertici sulla stessa circonferenza. Lati uguali o diagonali uguali non c'entrano: senza l'inscrizione nella circonferenza la regola non si applica.
In un quadrilatero ciclico con angoli $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ , quali coppie sono supplementari?
- A $α$ e $γ$ , oppure $β$ e $δ$ .
- B $α$ e $β$ , oppure $γ$ e $δ$ .
- C $α$ e $δ$ , oppure $β$ e $γ$ .
- D Tutte le coppie possibili, comunque scelte.
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Risposta giusta: A. $α$ e $γ$ , oppure $β$ e $δ$ .
La teoria collega $α$ con $γ$ e $β$ con $δ$ : sono queste le coppie di angoli opposti. Accoppiare $α$ con $β$ , o $γ$ con $δ$ , significa prendere due angoli che non sono opposti, ed è un errore frequente.
In un quadrilatero ciclico, $α = 72 °$ e $β = 130 °$ . Quanto misura $γ$ ?
- A $50 °$
- B $108 °$
- C $288 °$
- D $230 °$
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Risposta giusta: B. $108 °$
L'angolo $γ$ è l'opposto di $α$ , quindi $γ = 180 ° - 72 ° = 108 °$ . Usare $β$ al posto di $α$ significa accoppiare angoli che non sono opposti, ed è l'errore più comune.
In un quadrilatero ciclico, $α = 118 °$ e $β = 95 °$ . Quanto misura $δ$ ?
- A $62 °$
- B $265 °$
- C $242 °$
- D $85 °$
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Risposta giusta: D. $85 °$
L'angolo $δ$ è l'opposto di $β$ , quindi $δ = 180 ° - 95 ° = 85 °$ . Chi usa $α$ al posto di $β$ sta accoppiando due angoli che non sono opposti tra loro.
In un quadrilatero ciclico, $β = 47 °$ e $γ = 156 °$ . Quanto misura $δ$ ?
- A $133 °$
- B $24 °$
- C $313 °$
- D $204 °$
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Risposta giusta: A. $133 °$
L'angolo $δ$ è supplementare a $β$ , non a $γ$ : quindi $δ = 180 ° - 47 ° = 133 °$ . Il valore di $γ$ non serve per calcolare $δ$ , ed è inserito proprio per verificare che tu scelga l'angolo opposto giusto.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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