Matematica · 3ª media · Lezione 5 di 7
Circonferenza circoscritta a un poligono
La circonferenza circoscritta passa per tutti i vertici, quindi il centro è equidistante da essi e si trova incrociando gli assi dei lati. Ogni triangolo ne ha una.
Teoria in pillole
Una circonferenza è circoscritta a un poligono quando passa per tutti i suoi vertici. Detto dall'altra parte: il poligono è inscritto nella circonferenza. Sono due modi di descrivere la stessa figura, a seconda di quale delle due si guarda.
il centro della circonferenza circoscritta dista ugualmente da tutti i vertici del poligono, e quella distanza comune è il raggio
- Il centro si trova con gli assi dei lati: l'asse di un lato è la perpendicolare condotta nel suo punto medio, e ogni suo punto è equidistante dai due estremi di quel lato.
- Se gli assi di tutti i lati si incontrano in un punto solo, quel punto è equidistante da tutti i vertici e si chiama circocentro.
- Un triangolo ha sempre la circonferenza circoscritta: i tre assi si incontrano sempre.
- Un quadrilatero qualsiasi no: i suoi quattro assi in generale non passano tutti per lo stesso punto, e allora nessuna circonferenza riesce a toccare tutti e quattro i vertici.
Per la circoscritta si usano gli assi dei lati, non le bisettrici degli angoli. Le bisettrici servono per la circonferenza inscritta, e nei triangoli non equilateri portano a un punto diverso.
La mappa
La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.
Domande
Che cosa significa dire che una circonferenza è circoscritta a un poligono?
- A È tangente a tutti i lati del poligono
- B Passa per i punti medi di ogni lato
- C Passa per tutti i vertici del poligono
- D È tangente a un solo vertice del poligono
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Risposta giusta: C. Passa per tutti i vertici del poligono
Circoscritta significa che la circonferenza passa per tutti i vertici del poligono, che risulta così inscritto in essa. Essere tangente ai lati, invece, è la proprietà della circonferenza inscritta, non di quella circoscritta.
Una circonferenza è circoscritta a un poligono e il suo centro è . Che cosa si può dire delle distanze di dai vertici?
- A Sono tutte uguali fra loro
- B Sono uguali solo per i poligoni con pochi lati
- C Diminuiscono man mano che i vertici sono più lontani
- D Non hanno alcuna relazione particolare
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Risposta giusta: A. Sono tutte uguali fra loro
Il centro della circonferenza circoscritta è equidistante da tutti i vertici del poligono, perché ciascuno di essi appartiene alla circonferenza: per questo vale sempre . Questa proprietà non dipende dal numero di lati del poligono.
Quale costruzione permette di trovare il centro della circonferenza circoscritta a un poligono?
- A Le bisettrici degli angoli
- B Le diagonali del poligono
- C Le altezze relative ai lati
- D Gli assi dei lati
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Risposta giusta: D. Gli assi dei lati
Il centro si trova tracciando gli assi dei lati, cioè le perpendicolari nei loro punti medi: dove tutti gli assi si incontrano c'è il circocentro. Le bisettrici degli angoli servono invece per un'altra costruzione, quella della circonferenza inscritta.
Come si chiama il punto in cui si incontrano gli assi dei lati di un poligono?
- A Incentro
- B Circocentro
- C Punto medio del poligono
- D Vertice principale
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Risposta giusta: B. Circocentro
Il punto in cui si incontrano gli assi dei lati si chiama circocentro, ed è il centro della circonferenza circoscritta. Incentro è il nome di un punto diverso, che si trova con le bisettrici e non con gli assi.
In base a quanto visto sulla circonferenza circoscritta, quale affermazione è corretta?
- A Un triangolo ha sempre una circonferenza circoscritta, ma questo non vale per ogni quadrilatero
- B Ogni quadrilatero ha sempre una circonferenza circoscritta, proprio come ogni triangolo
- C Solo i triangoli equilateri hanno una circonferenza circoscritta
- D Solo i poligoni con tutti i lati uguali hanno una circonferenza circoscritta
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Risposta giusta: A. Un triangolo ha sempre una circonferenza circoscritta, ma questo non vale per ogni quadrilatero
Un triangolo possiede sempre una circonferenza circoscritta, ma per un quadrilatero questo non è garantito. Pensare che valga per ogni quadrilatero, così come vale per ogni triangolo, è un errore comune.
Un ragazzo deve trovare il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo e traccia le bisettrici dei tre angoli. Il suo procedimento è corretto?
- A Sì, perché bisettrici e assi si incontrano sempre nello stesso punto
- B Sì, perché per la circonferenza circoscritta si usano sempre le bisettrici
- C No, perché deve tracciare gli assi dei lati, non le bisettrici degli angoli
- D No, perché il centro della circonferenza circoscritta non esiste nei triangoli
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Risposta giusta: C. No, perché deve tracciare gli assi dei lati, non le bisettrici degli angoli
Il procedimento non è corretto: per trovare il centro della circonferenza circoscritta servono gli assi dei lati, cioè le perpendicolari nei loro punti medi, non le bisettrici degli angoli. Le bisettrici sono lo strumento adatto per un'altra costruzione, quella della circonferenza inscritta.
Il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo dista dal vertice e dal vertice . Quanto dista dal vertice ?
- A , la metà delle altre due distanze
- B , come le altre due distanze
- C Non si può stabilire senza conoscere anche i lati del triangolo
- D Dipende da quale angolo è più ampio
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Risposta giusta: B. , come le altre due distanze
Il centro della circonferenza circoscritta è equidistante da tutti i vertici, quindi la distanza dal vertice deve essere come le altre due. Non serve conoscere i lati o gli angoli del triangolo: questa proprietà vale sempre, per definizione.
Palestra del capitolo
Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.
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