Matematica · 3ª media · Lezione 6 di 7

Circonferenza inscritta in un poligono

La circonferenza inscritta tocca tutti i lati, quindi il centro è equidistante dai lati e si trova incrociando le bisettrici degli angoli interni. Nei punti di contatto il raggio è perpendicolare al lato.

Apri la lezione interattiva

Teoria in pillole

Una circonferenza è inscritta in un poligono quando tutti i lati del poligono le sono tangenti, cioè la toccano ciascuno in un punto solo. Detto dall'altra parte: il poligono è circoscritto alla circonferenza.

$d_{1} = d_{2} = d_{3} = r$

le distanze del centro da ciascun lato, misurate in perpendicolare, sono tutte uguali fra loro e valgono il raggio

Il centro si trova con le bisettrici degli angoli interni: ogni punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai due lati che formano quell'angolo.
Se le bisettrici di tutti gli angoli si incontrano in un punto solo, quel punto è equidistante da tutti i lati e si chiama incentro.
Nel punto di contatto, che è un punto di tangenza, il raggio arriva perpendicolare al lato: è la stessa proprietà della retta tangente, applicata a ciascun lato.
Un triangolo ha sempre la circonferenza inscritta. Un quadrilatero qualsiasi no: in un rettangolo non quadrato, per esempio, il centro dista meno dai lati lunghi che da quelli corti, e nessuna circonferenza riesce a toccarli tutti e quattro.

Per l'inscritta si usano le bisettrici degli angoli, non gli assi dei lati. È l'errore speculare a quello della lezione precedente: gli assi guardano i vertici, le bisettrici guardano i lati.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Circonferenza inscritta in un poligono

Apri la mappa in grande

Domande

Che cosa significa che una circonferenza è inscritta in un poligono?
- A La circonferenza passa per tutti i vertici del poligono
- B La circonferenza è tangente a tutti i lati del poligono
- C La circonferenza è tangente soltanto al lato più lungo
- D Il centro della circonferenza coincide con un vertice del poligono
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. La circonferenza è tangente a tutti i lati del poligono
Una circonferenza inscritta è tangente a ciascun lato del poligono, cioè lo tocca in un solo punto: questa è la definizione data. Chi risponde che passa per i vertici sta invece descrivendo la circonferenza circoscritta, una figura diversa.
Qual è la proprietà principale del centro di una circonferenza inscritta rispetto ai lati del poligono?
- A Ha distanza diversa da ogni lato, in base alla sua lunghezza
- B Ha distanza maggiore dai lati più lunghi
- C Ha distanza uguale soltanto per i lati opposti
- D Ha distanza uguale da ciascun lato del poligono
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. Ha distanza uguale da ciascun lato del poligono
Il centro della circonferenza inscritta è equidistante da tutti i lati, e questa distanza uguale è proprio il raggio della circonferenza. Chi pensa che la distanza cambi con la lunghezza del lato confonde una proprietà del centro con una caratteristica del poligono che qui non influisce.
Quale costruzione permette di trovare il centro della circonferenza inscritta in un poligono?
- A Le bisettrici degli angoli interni del poligono
- B Gli assi dei lati del poligono
- C Le diagonali del poligono
- D Le altezze relative ai lati del poligono
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. Le bisettrici degli angoli interni del poligono
Le bisettrici degli angoli interni, quando concorrono in uno stesso punto, individuano l'incentro, cioè il centro della circonferenza inscritta. Usare gli assi dei lati è un errore tipico: quella costruzione porta invece al centro della circonferenza circoscritta.
Come si chiama il centro della circonferenza inscritta in un poligono?
- A Circocentro
- B Punto di tangenza
- C Incentro
- D Raggio
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Incentro
Il centro della circonferenza inscritta, punto in cui concorrono le bisettrici degli angoli interni, si chiama incentro. Il circocentro è invece il centro della circonferenza circoscritta e si trova con un'altra costruzione, gli assi dei lati.
Che relazione c'è tra il raggio condotto nel punto di tangenza e il lato del poligono?
- A Il raggio è parallelo al lato
- B Il raggio è obliquo rispetto al lato, con inclinazione che varia da lato a lato
- C Il raggio forma con il lato un angolo che dipende dal tipo di poligono
- D Il raggio è perpendicolare al lato
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. Il raggio è perpendicolare al lato
Il raggio diretto al punto di tangenza è sempre perpendicolare al lato del poligono: solo misurando ad angolo retto si ottiene la vera distanza dal centro. Chi immagina un'inclinazione obliqua o variabile sta misurando la distanza in modo scorretto, non lungo la perpendicolare.
In un poligono con circonferenza inscritta, la distanza perpendicolare dal centro a un lato misura $6 cm$ . Quanto misura il raggio della circonferenza?
- A $3 cm$ , la metà della distanza
- B $6 cm$ , perché la distanza dal centro a un lato coincide con il raggio
- C $12 cm$ , il doppio della distanza
- D Non si può stabilire senza conoscere la lunghezza del lato
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $6 cm$ , perché la distanza dal centro a un lato coincide con il raggio
Per la proprietà della circonferenza inscritta, la distanza perpendicolare dal centro a un lato è sempre uguale al raggio, quindi $r = 6 cm$ . Dimezzare o raddoppiare questo valore significa confonderlo con un diametro, che qui non compare in nessun dato del problema.
In un pentagono con circonferenza inscritta, le distanze dal centro ai cinque lati sono $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ , $d_{4}$ , $d_{5}$ . Se $d_{1} = 4 cm$ , quanto misura $d_{3}$ ?
- A $2 cm$ , la metà di $d_{1}$
- B Dipende dalla lunghezza del terzo lato
- C $4 cm$ , come $d_{1}$ , perché tutte le distanze dal centro ai lati sono uguali al raggio
- D $8 cm$ , il doppio di $d_{1}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $4 cm$ , come $d_{1}$ , perché tutte le distanze dal centro ai lati sono uguali al raggio
Tutte le distanze perpendicolari dal centro ai lati di un poligono con circonferenza inscritta sono uguali fra loro e coincidono con il raggio, quindi $d_{3} = d_{1} = 4 cm$ . Pensare che dipenda dal lato è l'errore di chi non ha capito che il raggio è lo stesso per costruzione, indipendentemente da quanto è lungo ciascun lato.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

Apri la lezione interattiva