Circonferenze e rette sul piano. La tangente

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Che cos'è la distanza $d$ che si confronta con il raggio per stabilire la posizione di una retta rispetto a una circonferenza?

   • A La distanza tra il centro della circonferenza e un punto qualsiasi della retta
   • B La lunghezza del raggio della circonferenza
   • C La distanza tra il centro della circonferenza e la retta, misurata lungo la perpendicolare alla retta
   • D La distanza tra i due punti in cui la retta incontra la circonferenza
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   Risposta giusta: C. La distanza tra il centro della circonferenza e la retta, misurata lungo la perpendicolare alla retta

   La distanza $d$ è per definizione quella misurata lungo il segmento perpendicolare dal centro alla retta, l'unica distanza minima e ben definita da confrontare con $r$. Misurare fino a un punto qualsiasi della retta, come nel primo distrattore, darebbe valori diversi a seconda del punto scelto e non permetterebbe di stabilire la posizione in modo corretto.

2. Quando una retta è secante rispetto a una circonferenza di raggio $r$?

   • A Quando $d<r$
   • B Quando la retta è perpendicolare al raggio
   • C Quando $d=r$
   • D Quando $d>r$
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   Risposta giusta: A. Quando $d<r$

   La retta è secante quando la distanza $d$ dal centro, misurata lungo la perpendicolare, è minore del raggio $r$: in questo caso la retta entra nella circonferenza e la incontra in due punti. Chi scambia i due casi può pensare che basti $d>r$, ma quella condizione descrive invece una retta esterna, senza punti in comune.

3. In quale caso una retta è tangente a una circonferenza di raggio $r$?

   • A Quando $d<r$
   • B Quando la retta passa per il centro della circonferenza
   • C Quando $d>r$
   • D Quando $d=r$
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   Risposta giusta: D. Quando $d=r$

   La tangenza si ha esattamente quando $d=r$: la retta tocca la circonferenza in un solo punto. Se $d<r$ la retta è secante con due punti in comune, se $d>r$ è esterna senza punti in comune; una retta che passa per il centro ha $d=0$, quindi è secante e non tangente.

4. Qual è la relazione tra una retta tangente e i raggi della circonferenza?

   • A È perpendicolare a ogni raggio della circonferenza
   • B È perpendicolare soltanto al raggio che arriva nel punto di tangenza
   • C È parallela al raggio nel punto di tangenza
   • D Non ha nessuna relazione particolare con i raggi della circonferenza
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   Risposta giusta: B. È perpendicolare soltanto al raggio che arriva nel punto di tangenza

   La perpendicolarità tra tangente e raggio vale esattamente nel punto di tangenza, cioè solo per il raggio che arriva in quel punto preciso. È un errore frequente pensare che la tangente sia perpendicolare a ogni raggio della circonferenza, come nel primo distrattore: gli altri raggi, che toccano la circonferenza in punti diversi, non sono perpendicolari alla tangente.

5. Una circonferenza ha raggio $r=6\mathrm{cm}$. Una retta si trova a distanza $d=6\mathrm{cm}$ dal centro, misurata lungo la perpendicolare alla retta. Come si può definire questa retta rispetto alla circonferenza?

   • A Tangente, perché $d=r$
   • B Secante, perché $d=r$
   • C Esterna, perché $d=r$
   • D Secante, perché $d<r$
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   Risposta giusta: A. Tangente, perché $d=r$

   Poiché $d=6\mathrm{cm}$ e $r=6\mathrm{cm}$, risulta $d=r$: la retta è tangente e tocca la circonferenza in un solo punto, come richiede esattamente questa condizione. Le altre risposte associano la stessa uguaglianza a categorie sbagliate, oppure ripropongono la condizione $d<r$ che qui non è verificata.

6. Una circonferenza ha raggio $r=8\mathrm{cm}$. La distanza tra il centro e una retta, misurata lungo la perpendicolare, è $d=9\mathrm{cm}$. Come si posiziona la retta rispetto alla circonferenza?

   • A Tangente, perché $d>r$
   • B Secante, perché $d>r$
   • C Secante, perché $d=r$
   • D Esterna, perché $d>r$
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   Risposta giusta: D. Esterna, perché $d>r$

   Qui $d=9\mathrm{cm}$ è maggiore di $r=8\mathrm{cm}$, quindi la retta è esterna e non ha punti in comune con la circonferenza. Chi scambia i due casi può associare $d>r$ alla secante invece che all'esterna, ma la secante richiede $d<r$.

7. Una retta è secante rispetto a una circonferenza di raggio $r$. La distanza tra il centro e la retta, misurata lungo la perpendicolare, è $d=5\mathrm{cm}$. Che cosa si può concludere sul raggio $r$?

   • A $r<5\mathrm{cm}$
   • B $r>5\mathrm{cm}$
   • C $r=5\mathrm{cm}$
   • D Non si può dire nulla su $r$ senza conoscere il punto di tangenza
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   Risposta giusta: B. $r>5\mathrm{cm}$

   Essere secante significa $d<r$: se $d=5\mathrm{cm}$, il raggio deve essere maggiore di $5\mathrm{cm}$. Chi inverte la disuguaglianza conclude erroneamente $r<5\mathrm{cm}$, e chi cerca il punto di tangenza dimentica che questo concetto riguarda solo le rette tangenti, non quelle secanti.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Circonferenza: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.