Matematica · 3ª media · Lezione 4 di 4

Moltiplicazione e divisione di numeri relativi

Moltiplicare e dividere numeri relativi con la regola dei segni, il prodotto di più fattori, le sequenze di operazioni e il reciproco con le frazioni.

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Teoria in pillole

Come si moltiplicano e si dividono due numeri relativi? Il risultato ha un valore assoluto e un segno, che si trovano separatamente: il valore assoluto si calcola con i valori assoluti dei due numeri, il segno si decide guardando se i numeri sono concordi o discordi.

Moltiplicazione come addizione ripetuta

Moltiplicare un numero per un naturale $n$ significa ripeterlo $n$ volte come addendo.

$(- 2) + (- 2) + (- 2) = - 6$

$(- 2) \cdot 3 = - 6$

Fattori

- 2

3

, prodotto

- 6

. Si parte da zero e si aggiunge

- 2

per 3 volte. Il valore assoluto del prodotto è

2 \cdot 3 = 6

e il segno è negativo.

Primo fattore positivo

Se il primo fattore è positivo, si scambiano i fattori con la proprietà commutativa e ci si riporta al caso precedente.

$3 \cdot (- 6) = (- 6) \cdot 3$

$(- 6) + (- 6) + (- 6) = - 18$

$3 \cdot (- 6) = - 18$

Il fattore positivo dice quante volte si ripete il numero negativo. Due numeri discordi hanno sempre un prodotto negativo, con valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti.

Due fattori negativi

Un numero non si può ripetere un numero negativo di volte, quindi l’addizione ripetuta non basta. Si parte da un prodotto già noto e si cambia il segno al primo fattore.

$5 \cdot (- 2) = - 10$

$(- 5) \cdot (- 2) = 10$

Cambiare il segno a un fattore cambia il segno del prodotto: $(- 5) \cdot (- 2)$ è l’opposto di $5 \cdot (- 2)$ , cioè l’opposto di $- 10$ , che è $10$ . Lo si vede anche diminuendo il secondo fattore di 1 alla volta.

calcolo	risultato
$(- 5) \cdot 2$	$- 10$
$(- 5) \cdot 1$	$- 5$
$(- 5) \cdot 0$	$0$
$(- 5) \cdot (- 1)$	$5$
$(- 5) \cdot (- 2)$	$10$

Ogni volta che il secondo fattore diminuisce di 1, il prodotto aumenta di 5: si arriva a

5

e a

10

. Il prodotto di due numeri negativi è positivo.

Fattori concordi

Due fattori sono concordi se hanno lo stesso segno. Il prodotto è positivo.

$4 \cdot 7 = 28$

$(- 9) \cdot (- 4) = 36$

Si moltiplicano i valori assoluti:

9 \cdot 4 = 36

. Il segno più davanti a un numero positivo di solito non si scrive.

Fattori discordi

Due fattori sono discordi se hanno segni diversi. Il prodotto è negativo.

$3 \cdot (- 8) = - 24$

$(- 6) \cdot 5 = - 30$

Anche qui si moltiplicano i valori assoluti:

3 \cdot 8 = 24

. Non importa quale dei due fattori è negativo.

Uno, zero e meno uno

Con questi tre fattori il prodotto si scrive subito.

$(- 7) \cdot 1 = - 7$

$(- 7) \cdot 0 = 0$

$(- 7) \cdot (- 1) = 7$

Moltiplicare per

1

lascia il numero com’è. Moltiplicare per

0

dà sempre

0

. Moltiplicare per

- 1

dà l’opposto del numero.

Più fattori: negativi in numero pari

Con tre o più fattori si moltiplicano i valori assoluti e si contano i fattori negativi. Se sono in numero pari, il prodotto è positivo.

$(- 6) \cdot 2 \cdot (- 5) \cdot 3 = 180$

Il prodotto dei valori assoluti è

6 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 = 180

. I fattori negativi sono due, un numero pari: il segno è positivo.

Più fattori: negativi in numero dispari

Se i fattori negativi sono in numero dispari, il prodotto è negativo.

$(- 2) \cdot (- 4) \cdot (- 5) \cdot 3 = - 120$

Il prodotto dei valori assoluti è

2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 = 120

. I fattori negativi sono tre, un numero dispari: il segno è negativo. Se un fattore è

0

, il prodotto è

0

qualunque siano gli altri.

Divisione: il quoziente

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Il quoziente è il numero che, moltiplicato per il divisore, dà il dividendo.

$(- 8) : (- 2) = 4$

$4 \cdot (- 2) = - 8$

Dividendo

- 8

, divisore

- 2

, quoziente

4

. Nella figura si parte da zero e si aggiunge

- 2

per 4 volte: si arriva a

- 8

. Il quoziente si controlla sempre con la moltiplicazione.

Divisione: regola dei segni

Il valore assoluto del quoziente è il quoziente dei valori assoluti. Il segno è positivo se dividendo e divisore sono concordi, negativo se sono discordi.

$24 : 6 = 4$

$(- 24) : (- 6) = 4$

$24 : (- 6) = - 4$

$(- 24) : 6 = - 4$

Controllo con la moltiplicazione:

(- 4) \cdot 6 = - 24

Schema dei segni

primo	secondo	risultato
+	+	+
−	−	+
+	−	−
−	+	−

Primo e secondo sono i segni dei due numeri (fattori, oppure dividendo e divisore). Lo schema vale per la moltiplicazione e per la divisione. Segni uguali: risultato positivo. Segni diversi: risultato negativo.

Divisione: zero e uno

Con lo zero e con l’uno ci sono tre casi da ricordare.

$0 : (- 5) = 0$

$(- 5) : (- 5) = 1$

$(- 5) : (- 1) = 5$

Lo zero diviso un numero diverso da zero dà

0

. Un numero diverso da zero diviso per sé stesso dà

1

. Diviso per

- 1

dà l’opposto. Dividere per

0

non si può: per

- 5 : 0

nessun numero moltiplicato per

0

dà

- 5

(operazione impossibile), e

0 : 0

non ha un risultato solo, perché ogni numero moltiplicato per

0

dà

0

(operazione indeterminata).

Moltiplicazioni e divisioni in sequenza

Se ci sono solo moltiplicazioni e divisioni, si eseguono una dopo l’altra, nell’ordine in cui sono scritte, da sinistra a destra. Ogni volta si applica la regola dei segni.

$(- 12) : 3 \cdot (- 5) : 4$

$(- 12) : 3 = - 4$

$(- 4) \cdot (- 5) = 20$

$20 : 4 = 5$

Controllo del segno: i numeri negativi sono due, un numero pari, quindi il risultato è positivo. Non si esegue prima la moltiplicazione: l’ordine è quello di scrittura.

Il reciproco

Due numeri diversi da zero sono uno il reciproco dell’altro (si dice anche inverso) se il loro prodotto è $1$ . Per una frazione si scambiano numeratore e denominatore e si conserva il segno.

$(- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{4}{3}) = 1$

$(- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) = 1$

Il reciproco di

- \frac{3}{4}

- \frac{4}{3}

. Il reciproco di

- 5

- \frac{1}{5}

: un intero si scrive come frazione con denominatore

1

. Il reciproco ha lo stesso segno del numero, quindi non è l’opposto: l’opposto di

- \frac{3}{4}

\frac{3}{4}

. Lo zero non ha reciproco, perché ogni prodotto con zero dà

0

, mai uguale a

1

Dividere per una frazione

Dividere per un numero diverso da zero equivale a moltiplicare per il suo reciproco. Poi si applica la regola dei segni.

$(- \frac{5}{6}) : \frac{10}{9} = (- \frac{5}{6}) \cdot \frac{9}{10}$

$(- \frac{5}{6}) \cdot \frac{9}{10} = - \frac{45}{60}$

$- \frac{45}{60} = - \frac{3}{4}$

Il divisore è

\frac{10}{9}

e il suo reciproco è

\frac{9}{10}

. Dividendo e divisore sono discordi, quindi il quoziente è negativo. Alla fine si riduce la frazione ai minimi termini.

Le regole valgono per tutti i numeri relativi, anche decimali e frazioni: $(- 2,5) \cdot 4 = - 10$ e $(- 4,5) : (- 3) = 1,5$ .
Il quoziente di due interi non è sempre un intero, come in $(- 7) : 2 = - 3,5$ .
Un numero negativo scritto dopo il segno di operazione sta fra parentesi: $3 \cdot (- 8)$ . Le parentesi attorno al primo numero si possono togliere: $- 9 \cdot (- 7)$ vale quanto $(- 9) \cdot (- 7)$ , cioè $63$ .
Anche dividere per un intero diverso da zero è moltiplicare per il suo reciproco: $(- \frac{3}{5}) : 6 = (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{6}$ , cioè $- \frac{1}{10}$ .
Una variazione ripetuta si moltiplica: se la temperatura scende di $2$ °C ogni ora, dopo $5$ ore la variazione è $(- 2) \cdot 5 = - 10$ °C.

Non confondere le operazioni. Nell’addizione due numeri negativi danno un numero negativo: $(- 3) + (- 4) = - 7$ . Nella moltiplicazione due fattori negativi danno un prodotto positivo: $(- 3) \cdot (- 4) = 12$ . Prima di calcolare guarda quale operazione c’è.

La mappa

La lezione in un colpo d’occhio: la regola dei segni, i prodotti di più fattori, la divisione e il reciproco.

Mappa mentale: Moltiplicazione e divisione di numeri relativi

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Simulazioni

Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: prodotti e quozienti con la regola dei segni, più fattori e reciproco, con i numeri che scegli tu. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

Domande

Quale moltiplicazione dà lo stesso risultato di $(- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5)$ ?
- A $(- 5) \cdot 5$
- B $(- 5) \cdot (- 4)$
- C $(- 5) \cdot 4$
- D $5 \cdot 4$
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Risposta giusta: C. $(- 5) \cdot 4$
Il numero $- 5$ è ripetuto 4 volte come addendo, quindi la somma è $(- 5) \cdot 4 = - 20$ . $(- 5) \cdot 5$ ripete il numero 5 volte e dà $- 25$ . $(- 5) \cdot (- 4)$ dà $20$ : due fattori negativi hanno un prodotto positivo, ma una somma di numeri negativi è negativa. $5 \cdot 4$ dà $20$ e perde il segno del numero ripetuto.
Quanto vale $(- 9) \cdot (- 4)$ ?
- A $36$
- B $- 36$
- C $- 13$
- D $13$
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Risposta giusta: A. $36$
I fattori sono concordi (entrambi negativi), quindi il prodotto è positivo. Il valore assoluto è $9 \cdot 4 = 36$ : il risultato è $36$ . $- 36$ dà il segno meno a un prodotto di fattori concordi. $- 13$ è la somma $(- 9) + (- 4)$ e $13$ è la somma dei valori assoluti: sono risultati di un’addizione, non di una moltiplicazione.
Quanto vale $(- 2) \cdot (- 5) \cdot (- 1) \cdot 3$ ?
- A $30$
- B $- 10$
- C $10$
- D $- 30$
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Risposta giusta: D. $- 30$
Il prodotto dei valori assoluti è $2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 3 = 30$ . I fattori negativi sono tre, un numero dispari: il prodotto è negativo, cioè $- 30$ . $30$ ha il valore assoluto giusto ma il segno sbagliato: i segni meno non si annullano tutti, ne resta uno senza coppia. $- 10$ e $10$ dimenticano il fattore $3$ : $2 \cdot 5 \cdot 1 = 10$ .
Quale moltiplicazione permette di controllare che $(- 42) : 7 = - 6$ ?
- A $(- 42) \cdot 7 = - 6$
- B $(- 6) \cdot 7 = - 42$
- C $7 \cdot (- 42) = - 6$
- D $(- 6) \cdot (- 42) = 7$
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Risposta giusta: B. $(- 6) \cdot 7 = - 42$
Il quoziente moltiplicato per il divisore deve dare il dividendo: $(- 6) \cdot 7 = - 42$ . Le altre scritture scambiano i ruoli dei numeri. $(- 42) \cdot 7$ e $7 \cdot (- 42)$ moltiplicano il dividendo per il divisore e danno $- 294$ , non $- 6$ . L’ultima moltiplica il quoziente per il dividendo e dà $252$ , non $7$ .
Quanto vale $(- 7,5) : 2,5$ ?
- A $3$
- B $- 0,3$
- C $- 3$
- D $- 10$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $- 3$
I numeri sono discordi, quindi il quoziente è negativo. Il valore assoluto è $7,5 : 2,5 = 3$ : il risultato è $- 3$ , e il controllo $(- 3) \cdot 2,5 = - 7,5$ lo conferma. $3$ ha perso il segno. $- 0,3$ sbaglia il posto della virgola: $0,3 \cdot 2,5$ dà $0,75$ , non $7,5$ . $- 10$ è la differenza $(- 7,5) - 2,5$ : è una sottrazione, non una divisione.
Quanto vale $(- 20) : 4 \cdot (- 3) : 5$ ?
- A $3$
- B $- 3$
- C $\frac{1}{3}$
- D $- \frac{1}{3}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $3$
Si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono scritte: $(- 20) : 4 = - 5$ , poi $(- 5) \cdot (- 3) = 15$ , poi $15 : 5 = 3$ . I numeri negativi sono due, un numero pari, quindi il risultato è positivo e $- 3$ è sbagliato. $\frac{1}{3}$ si ottiene calcolando prima $4 \cdot (- 3) = - 12$ : $(- 20) : (- 12) = \frac{5}{3}$ e poi $\frac{5}{3} : 5 = \frac{1}{3}$ . Ma la moltiplicazione non ha la precedenza sulla divisione che la precede. $- \frac{1}{3}$ aggiunge anche un errore di segno.
Qual è il reciproco di $- \frac{5}{8}$ ?
- A $\frac{5}{8}$
- B $- \frac{8}{5}$
- C $\frac{8}{5}$
- D $- \frac{5}{8}$
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Risposta giusta: B. $- \frac{8}{5}$
Il reciproco si ottiene scambiando numeratore e denominatore e conservando il segno: $- \frac{8}{5}$ . Infatti $(- \frac{5}{8}) \cdot (- \frac{8}{5}) = 1$ . $\frac{5}{8}$ è l’opposto: cambia il segno e non scambia i numeri. $\frac{8}{5}$ scambia i numeri ma cambia anche il segno: il prodotto $(- \frac{5}{8}) \cdot \frac{8}{5}$ dà $- 1$ . $- \frac{5}{8}$ è il numero stesso: il suo prodotto per sé stesso è $\frac{25}{64}$ .
Quanto vale $(- \frac{3}{4}) : (- \frac{9}{10})$ ?
- A $- \frac{5}{6}$
- B $\frac{27}{40}$
- C $- \frac{27}{40}$
- D $\frac{5}{6}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{5}{6}$
Si moltiplica per il reciproco del divisore: $(- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{10}{9}) = \frac{30}{36}$ , che ridotto ai minimi termini è $\frac{5}{6}$ . Dividendo e divisore sono concordi, quindi il risultato è positivo e $- \frac{5}{6}$ è sbagliato. $\frac{27}{40}$ e $- \frac{27}{40}$ nascono dal moltiplicare per il divisore invece che per il suo reciproco: $(- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{9}{10})$ dà $\frac{27}{40}$ , e $- \frac{27}{40}$ aggiunge un errore di segno.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: segno e confronto, le quattro operazioni, potenze, notazione scientifica, radici ed espressioni. Prima scegli i numeri (interi, decimali, periodici, frazioni) e gli argomenti.

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