Matematica · 1ª media · Lezione 9 di 9

Divisioni con il resto

Calcolare quoziente e resto di una divisione e usarli per prevedere fenomeni che si ripetono a ciclo.

Teoria in pillole

In una divisione fra numeri naturali, quando il dividendo non è multiplo del divisore, il risultato è un quoziente e un resto: ciò che avanza. Il resto vale solo se è più piccolo del divisore, altrimenti la divisione non è arrivata in fondo.

$47 = 7 \cdot 6 + 5$

il dividendo si ritrova moltiplicando divisore e quoziente e aggiungendo il resto

il resto è sempre minore del divisore: dividendo per $7$ i resti possibili sono $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ e $6$
per controllare un risultato si moltiplica il quoziente per il divisore e si aggiunge il resto, ritrovando il dividendo
i fenomeni che si ripetono a ciclo, come i giorni della settimana o le ore dell'orologio, si calcolano con il resto

In $47 : 7$ fermarsi al quoziente $5$ dà resto $12$ : sbagliato, perché $12$ è maggiore del divisore $7$ . Il quoziente giusto è $6$ , con resto $5$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

Domande

Quanto vale il resto della divisione $23 : 5$ ?
- A $3$
- B $4$
- C $8$
- D $2$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $3$
$23 : 5$ dà quoziente $4$ e resto $3$ , perché $5 \cdot 4 + 3 = 23$ . Chi risponde $4$ ha confuso il quoziente con il resto. Chi risponde $8$ si è fermato al quoziente $3$ ( $5 \cdot 3 = 15$ , $23 - 15 = 8$ ): resto troppo grande, bisognava continuare a dividere. Chi risponde $2$ ha arrotondato il quoziente per eccesso a $5$ ( $5 \cdot 5 = 25$ ) e ha calcolato $25 - 23 = 2$ , invece di fermarsi al quoziente corretto $4$ .
Nella divisione $34 : 6$ , qual è il quoziente giusto, quello che lascia un resto minore di $6$ ?
- A $4$
- B $5$
- C $6$
- D $7$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $5$
Il quoziente giusto è $5$ perché $6 \cdot 5 = 30$ e $34 - 30 = 4$ , resto minore di $6$ . Chi risponde $4$ si ferma troppo presto: $6 \cdot 4 = 24$ e $34 - 24 = 10$ , resto maggiore del divisore, quindi non va bene. Chi risponde $6$ o $7$ supera il dividendo: $6 \cdot 6 = 36$ è già più grande di $34$ .
Oggi è lunedì. Che giorno sarà tra $23$ giorni?
- A mercoledì
- B martedì
- C giovedì
- D lunedì
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. mercoledì
$23 : 7$ dà quoziente $3$ e resto $2$ ( $7 \cdot 3 = 21$ , $23 - 21 = 2$ ): partendo da lunedì (resto $0$ ) si contano due giorni in più, cioè mercoledì. Chi risponde martedì ha calcolato $22 : 7$ invece di $23 : 7$ , contando un giorno in meno. Chi risponde giovedì ha calcolato $24 : 7$ , un giorno in più. Chi risponde lunedì ha ignorato il resto, come se $23$ fosse multiplo di $7$ .
Un orologio a $12$ ore segna le $9$ . Che numero segnerà tra $53$ ore?
- A $1$
- B $14$
- C $4$
- D $2$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $2$
$53 : 12$ dà quoziente $4$ e resto $5$ ( $12 \cdot 4 = 48$ , $53 - 48 = 5$ ): partendo dalle $9$ si contano $5$ ore, arrivando a $14$ , cioè $2$ sul quadrante. Chi risponde $1$ ha usato il quoziente al posto del resto ( $9 + 4 = 13$ , poi $13 - 12 = 1$ ). Chi risponde $14$ ha dimenticato di togliere $12$ per tornare sul quadrante. Chi risponde $4$ ha arrotondato il quoziente per eccesso a $5$ ( $12 \cdot 5 = 60$ ) e ha calcolato $60 - 53 = 7$ come resto, poi $9 + 7 = 16$ e $16 - 12 = 4$ .
Un fioraio confeziona mazzi da $8$ rose. Ha $53$ rose. Quante rose avanzano dopo aver fatto tutti i mazzi possibili?
- A $6$
- B $13$
- C $3$
- D $5$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $5$
$53 : 8$ dà quoziente $6$ e resto $5$ ( $8 \cdot 6 = 48$ , $53 - 48 = 5$ ): avanzano $5$ rose. Chi risponde $6$ ha confuso il quoziente con il resto. Chi risponde $13$ si è fermato al quoziente $5$ ( $8 \cdot 5 = 40$ , $53 - 40 = 13$ ): resto maggiore del divisore, non va bene. Chi risponde $3$ ha arrotondato il quoziente per eccesso a $7$ ( $8 \cdot 7 = 56$ ) e ha calcolato $56 - 53 = 3$ , invece di fermarsi al quoziente corretto $6$ .
Dividendo un numero per $9$ , quali sono tutti i resti possibili?
- A da $1$ a $9$
- B da $0$ a $9$
- C da $0$ a $8$
- D da $1$ a $8$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. da $0$ a $8$
I resti possibili in una divisione per $9$ vanno da $0$ a $8$ : il resto deve essere sempre minore del divisore, quindi il valore più alto possibile è $9 - 1 = 8$ , il più basso è $0$ (divisione esatta). Chi risponde da $1$ a $9$ include per errore il divisore come resto massimo. Chi risponde da $0$ a $9$ fa lo stesso errore lasciando anche il $9$ . Chi risponde da $1$ a $8$ esclude lo $0$ , dimenticando che una divisione esatta ha resto $0$ .
Un alunno scrive $35 = 6 \cdot 4 + 11$ per la divisione $35 : 6$ . Dov'è l'errore?
- A Il resto doveva essere $0$ , perché $35$ è multiplo di $6$
- B Il quoziente è sbagliato: doveva essere $6$ , con $6 \cdot 6 = 36$
- C Il resto $11$ è maggiore del divisore $6$ : il quoziente giusto è $5$ , con resto $5$
- D Il calcolo è corretto così com'è
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Il resto $11$ è maggiore del divisore $6$ : il quoziente giusto è $5$ , con resto $5$
Il resto deve sempre essere minore del divisore: $11$ è maggiore di $6$ , quindi la divisione non era arrivata in fondo. Continuando, $6 \cdot 5 = 30$ e $35 - 30 = 5$ , resto minore di $6$ : quoziente giusto $5$ , resto $5$ . Chi dice che il quoziente doveva essere $6$ sbaglia, perché $6 \cdot 6 = 36$ supera $35$ . Chi dice che il resto doveva essere $0$ pensa che $35$ sia multiplo di $6$ , ma $6 \cdot 5 = 30$ e $6 \cdot 6 = 36$ : $35$ sta in mezzo. Chi dice che il calcolo è corretto non ha controllato che il resto fosse minore del divisore.
In una divisione il divisore è $9$ , il quoziente è $7$ e il resto è $4$ . Qual è il dividendo?
- A $63$
- B $67$
- C $99$
- D $37$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $67$
Il dividendo si trova moltiplicando divisore e quoziente e aggiungendo il resto: $9 \cdot 7 + 4 = 67$ . Chi risponde $63$ ha dimenticato di aggiungere il resto ( $9 \cdot 7 = 63$ ). Chi risponde $99$ ha calcolato $9 \cdot (7 + 4)$ , sommando quoziente e resto prima di moltiplicare. Chi risponde $37$ ha scambiato i ruoli dei numeri, calcolando $7 \cdot 4 + 9$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.

Apri la lezione interattiva