Matematica · 1ª media · Lezione 8 di 9

Numeri pari e numeri dispari

Riconoscere se un numero è pari o dispari dall'ultima cifra e prevedere la parità di somme, doppi e prodotti di numeri consecutivi.

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Teoria in pillole

Un numero naturale è pari quando è divisibile per $2$ , cioè quando la divisione per $2$ dà resto $0$ : si può separare in due gruppi uguali o in coppie senza che avanzi nulla. È invece dispari quando la divisione per $2$ dà resto $1$ : diviso in coppie, resta sempre un elemento spaiato.

$7 : 2 = 3$ resto $1$

il resto della divisione per

2

dice se il numero è pari o dispari

i numeri pari finiscono per $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , i dispari per $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$
la somma di due numeri pari è pari, la somma di due dispari è pari, la somma di un pari e un dispari è dispari
il doppio di qualsiasi numero è sempre pari, perché è sempre divisibile per $2$

Chi generalizza la regola dei due addendi pensa che $3 + 5 + 7$ dia un numero pari come $16$ , ma la somma vera è $15$ , che è dispari: con tre addendi dispari il resto non si annulla.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Numeri pari e numeri dispari

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Domande

Quale di questi numeri è dispari?
- A $84$
- B $57$
- C $120$
- D $96$
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Risposta giusta: B. $57$
$57$ è dispari: $57 : 2 = 28$ resto $1$ . Gli altri tre ( $84$ , $120$ , $96$ ) finiscono per $4$ , $0$ , $6$ : cifre pari, quindi sono divisibili per $2$ senza resto.
Quale di questi numeri è pari?
- A $133$
- B $245$
- C $561$
- D $908$
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Risposta giusta: D. $908$
$908$ termina per $8$ , cifra pari, quindi è pari: $908 : 2 = 454$ senza resto. Gli altri tre terminano per $3$ , $5$ , $1$ : cifre dispari, quindi la divisione per $2$ lascia resto $1$ .
La somma di due numeri pari, come $18 + 24 = 42$ , è sempre:
- A dispari
- B pari solo se i due numeri sono uguali
- C pari
- D dispari se i numeri sono grandi
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Risposta giusta: C. pari
Due numeri pari si scrivono $2 \cdot a$ e $2 \cdot b$ : la somma è $2 \cdot (a + b)$ , sempre divisibile per $2$ , come conferma $18 + 24 = 42$ . Chi risponde «dispari» applica per errore la regola di pari più dispari; le altre due opzioni inventano condizioni sui numeri (uguaglianza, grandezza) che non contano nulla.
La somma di due numeri dispari, come $9 + 15 = 24$ , è sempre:
- A pari
- B dispari
- C pari solo se sono consecutivi
- D dispari solo se sono consecutivi
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Risposta giusta: A. pari
Due numeri dispari si scrivono $2 \cdot a + 1$ e $2 \cdot b + 1$ : la somma è $2 \cdot a + 2 \cdot b + 2$ , sempre pari, come conferma $9 + 15 = 24$ . Chi risponde «dispari» pensa che la parità dispari si conservi nella somma, come succede invece con pari più dispari; le altre due opzioni inventano una condizione sui numeri consecutivi che non serve.
Se sommi tre numeri dispari, per esempio $3 + 5 + 7$ , che tipo di numero ottieni?
- A pari, perché si crede che $3 + 5 + 7 = 16$
- B pari, perché dispari più dispari più dispari si compensano sempre
- C dispari solo se i tre numeri sono consecutivi
- D dispari, perché il resto di due addendi si annulla ma quello del terzo resta
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Risposta giusta: D. dispari, perché il resto di due addendi si annulla ma quello del terzo resta
La somma di tre dispari è sempre dispari: due dei tre addendi si accoppiano dando resto $0$ (come nella somma di due dispari), ma il resto $1$ del terzo addendo non si annulla; infatti $3 + 5 + 7 = 15$ , non $16$ come si otterrebbe sbagliando l'addizione $8 + 7$ . Chi risponde «si compensano sempre» applica la regola dei due addendi anche con tre dispari; chi dice «solo se consecutivi» si fa ingannare dal fatto che nell'esempio lo sono, ma la regola non dipende da questo.
Il doppio di un numero dispari, per esempio $2 \cdot 7 = 14$ , è:
- A dispari, perché il numero di partenza è dispari
- B pari, perché moltiplicare per $2$ dà sempre un multiplo di $2$
- C pari solo se il numero di partenza è maggiore di $10$
- D dispari se il numero di partenza è maggiore di $10$
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Risposta giusta: B. pari, perché moltiplicare per $2$ dà sempre un multiplo di $2$
Qualsiasi numero moltiplicato per $2$ diventa un multiplo di $2$ , quindi pari: infatti $2 \cdot 7 = 14$ , non $13$ o $15$ . Chi risponde «dispari» pensa che il risultato erediti la parità del numero di partenza, ma raddoppiare cambia sempre la parità in pari; le altre due opzioni inventano una condizione sulla grandezza del numero che non conta.
Il prodotto di due numeri consecutivi, come $6 \cdot 7 = 42$ , è sempre:
- A dispari
- B pari solo se il primo numero è pari
- C pari
- D dispari se il primo numero è dispari
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Risposta giusta: C. pari
Fra due numeri consecutivi uno è sempre pari e uno dispari: il prodotto di un pari per un dispari è sempre pari, infatti $6 \cdot 7 = 42$ . Chi risponde «dispari» dimentica che basta un fattore pari per rendere pari tutto il prodotto; le altre due opzioni credono che il risultato dipenda da quale dei due numeri è pari, ma vale in ogni caso perché uno dei due lo è sempre.
Quanto vale $23 + 39$ , e che tipo di numero è il risultato?
- A $62$ , pari
- B $61$ , dispari
- C $63$ , dispari
- D $62$ , dispari
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Risposta giusta: A. $62$ , pari
$23 + 39 = 62$ : $23$ e $39$ sono entrambi dispari, quindi la somma è pari, e infatti termina per $2$ . Chi risponde $61$ ha sbagliato il calcolo (come se sommasse $23 + 38$ ); chi risponde $63$ ha arrotondato $39$ a $40$ nel calcolo mentale senza correggere il risultato; chi dice « $62$ , dispari» ha fatto bene la somma ma sbaglia a leggere l'ultima cifra, che è $2$ , pari.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.

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