La divisibilità · 1ª media · Officina Didattica

Di che cosa parla il capitolo

La divisibilità studia quando un numero naturale si può dividere per un altro senza lasciare resto, e usa questa proprietà per scoprire cosa si nasconde dentro un numero.

Cercare i divisori di un numero e distinguere i numeri primi dai numeri composti
Scomporre un numero composto nei suoi fattori primi
Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. tra più numeri, anche a partire dalla scomposizione in fattori primi
Riconoscere numeri pari e dispari ed eseguire divisioni con il resto

Alla fine del capitolo sai scomporre un numero nei suoi fattori primi e usare quella scomposizione per trovare M.C.D. e m.c.m.: strumenti che servono ogni volta che bisogna confrontare o combinare più quantità insieme.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.

Quiz di fine capitolo

Quali sono tutti i divisori di 20?
- A 1, 2, 4, 5, 20
- B 1, 2, 5, 10, 20
- C 20, 40, 60, 80
- D 1, 2, 4, 5, 10, 20
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Risposta giusta: D. 1, 2, 4, 5, 10, 20
I divisori di 20 sono i numeri che lo dividono senza resto: $20 : 1 = 20$ , $20 : 2 = 10$ , $20 : 4 = 5$ , $20 : 5 = 4$ , $20 : 10 = 2$ , $20 : 20 = 1$ , quindi sono 1, 2, 4, 5, 10, 20. Chi risponde 20, 40, 60, 80 ha scritto i multipli di 20 invece dei divisori: il multiplo si ottiene moltiplicando 20, il divisore dividendo 20.
Perché 135 è divisibile per 9?
- A Perché la somma delle sue cifre, $1 + 3 + 5 = 9$ , è divisibile per 9
- B Perché la sua ultima cifra è 5
- C Perché è un numero dispari
- D Perché è divisibile per 3
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Risposta giusta: A. Perché la somma delle sue cifre, $1 + 3 + 5 = 9$ , è divisibile per 9
135 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre vale $1 + 3 + 5 = 9$ , multiplo di 9. Chi risponde «perché è divisibile per 3» confonde il criterio del 3 (somma delle cifre divisibile per 3) con quello del 9: 135 supera anche quel test, ma non è questo il motivo per cui supera anche quello del 9.
Qual è la scomposizione in fattori primi di 60?
- A $60 = 2 \cdot 3 \cdot 10$
- B $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$
- C $60 = 2 \cdot 30$
- D $60 = 4 \cdot 3 \cdot 5$
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Risposta giusta: B. $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$
Scomponendo 60 si trova $60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ , cioè $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ . Chi risponde $60 = 4 \cdot 3 \cdot 5$ si è fermato troppo presto: 4 non è un numero primo e va scomposto ancora in $2 \cdot 2$ .
Qual è il M.C.D. di 14 e 15?
- A $1$
- B $7$
- C $210$
- D $15$
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Risposta giusta: A. $1$
14 e 15 non hanno divisori in comune a parte 1: sono primi tra loro, quindi il M.C.D. vale $1$ . Chi risponde $210$ ha calcolato $14 \cdot 15$ , il prodotto dei due numeri, confondendolo con il massimo comune divisore invece di cercare i divisori comuni.
Usando la scomposizione in fattori primi, quanto vale il M.C.D. di 48 e 36?
- A $2^{4} \cdot 3^{2} = 144$
- B $2 \cdot 3 = 6$
- C $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
- D $2^{2} \cdot 3 = 12$
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Risposta giusta: D. $2^{2} \cdot 3 = 12$
Scomponendo, $48 = 2^{4} \cdot 3$ e $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ . Il M.C.D. si ottiene prendendo i fattori comuni con l'esponente più basso: $2^{2} \cdot 3 = 12$ . Chi risponde $144$ ha preso invece gli esponenti più alti, che è il procedimento corretto per il m.c.m., non per il M.C.D.
Qual è il m.c.m. di 8 e 12?
- A $4$
- B $96$
- C $24$
- D $12$
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Risposta giusta: C. $24$
I multipli di 8 sono 8, 16, 24, 32 e quelli di 12 sono 12, 24, 36: il più piccolo multiplo comune è $24$ . Chi risponde $96$ ha calcolato $8 \cdot 12$ , il prodotto dei due numeri, che coincide con il m.c.m. solo quando i due numeri sono primi tra loro: qui invece condividono il fattore 4.
Usando la scomposizione in fattori primi, quanto vale il m.c.m. di 18 e 24?
- A $2 \cdot 3 = 6$
- B $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$
- C $18 \cdot 24 = 432$
- D $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
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Risposta giusta: B. $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$
Scomponendo, $18 = 2 \cdot 3^{2}$ e $24 = 2^{3} \cdot 3$ . Il m.c.m. si ottiene prendendo tutti i fattori primi con l'esponente più alto: $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$ . Chi risponde $6$ ha preso invece gli esponenti più bassi dei fattori comuni, che è il procedimento del M.C.D., non del m.c.m.
Dividendo 47 per 6, quali sono quoziente e resto?
- A quoziente 7, resto 6
- B quoziente 6, resto 11
- C quoziente 7, resto 5
- D quoziente 8, resto 1
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Risposta giusta: C. quoziente 7, resto 5
Il quoziente è il più grande numero che moltiplicato per 6 non supera 47: $6 \cdot 7 = 42$ , e il resto è $47 - 42 = 5$ . Chi risponde resto $6$ ha sbagliato perché il resto deve sempre essere minore del divisore: se il resto arriva a essere uguale o maggiore di 6, vuol dire che il quoziente andava aumentato di 1.