I criteri di divisibilità. Numeri primi

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Quale tra questi numeri è sicuramente divisibile per $2$?

   • A $253$
   • B $481$
   • C $3668$
   • D $777$
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   Risposta giusta: C. $3668$

   $3668$ termina con $8$, una cifra pari, quindi è divisibile per $2$. Gli altri numeri terminano con $3$, $1$ e $7$: sono tutte cifre dispari, quindi $253$, $481$ e $777$ non sono divisibili per $2$.

2. Quale tra questi numeri è divisibile per $5$?

   • A $342$
   • B $205$
   • C $118$
   • D $233$
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   Risposta giusta: B. $205$

   $205$ termina con $5$, quindi è divisibile per $5$. Gli altri numeri terminano con $2$, $8$ e $3$: il criterio del $5$ richiede che l'ultima cifra sia $0$ oppure $5$, e nessuna di queste tre lo è.

3. Il numero $5116$ è divisibile per $4$? Quale calcolo lo stabilisce correttamente?

   • A $5+1+1+6=13$, quindi $5116$ non è divisibile per $4$
   • B L'ultima cifra è $6$, e $6$ non è divisibile per $4$, quindi $5116$ non è divisibile per $4$
   • C Le cifre centrali formano $11$, e $11$ non è divisibile per $4$, quindi $5116$ non è divisibile per $4$
   • D Le ultime due cifre formano $16$, e $16:4=4$, quindi $5116$ è divisibile per $4$
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   Risposta giusta: D. Le ultime due cifre formano $16$, e $16:4=4$, quindi $5116$ è divisibile per $4$

   Il criterio del $4$ guarda le ultime due cifre come un unico numero: $16:4=4$, senza resto, quindi $5116$ è divisibile per $4$. Chi somma tutte le cifre ($13$) sta usando il criterio del $3$ o del $9$, non quello del $4$. Chi controlla solo l'ultima cifra ($6$) sta usando il criterio del $2$, che basta per la parità ma non per il $4$. Chi prende le cifre centrali ($11$) ha scelto la coppia sbagliata: contano sempre le ultime due.

4. Qual è il modo corretto di stabilire se $546$ è divisibile per $3$ e per $9$?

   • A $5+4+6=15$, e $15$ è divisibile per $3$ ma non per $9$, quindi $546$ è divisibile per $3$ e non per $9$
   • B $5+4+6=16$, quindi $546$ non è divisibile né per $3$ né per $9$
   • C $5+4+6=15$, e $15$ è divisibile per $3$, quindi $546$ è divisibile sia per $3$ sia per $9$
   • D $5+4=9$, quindi $546$ è divisibile per $9$
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   Risposta giusta: A. $5+4+6=15$, e $15$ è divisibile per $3$ ma non per $9$, quindi $546$ è divisibile per $3$ e non per $9$

   La somma delle cifre di $546$ è $5+4+6=15$: $15$ è divisibile per $3$ (perché $15=3·5$) ma non per $9$, quindi $546$ è divisibile per $3$ e non per $9$. Chi trova $16$ ha sbagliato l'addizione. Chi conclude che è divisibile anche per $9$ confonde i due criteri: essere multiplo di $3$ non basta per essere multiplo di $9$. Chi trova $9$ sommando solo $5+4$ ha dimenticato l'ultima cifra, il $6$.

5. Quale di queste affermazioni sui numeri primi è corretta?

   • A $1$ è un numero primo, perché è divisibile solo per se stesso
   • B $9$ è un numero primo, perché è divisibile per $1$ e per $9$
   • C Ogni numero pari maggiore di $2$ è un numero primo
   • D $1$ non è un numero primo, perché ha un solo divisore, mentre un numero primo ne ha esattamente due
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   Risposta giusta: D. $1$ non è un numero primo, perché ha un solo divisore, mentre un numero primo ne ha esattamente due

   Un numero primo ha esattamente due divisori distinti: $1$ e se stesso. Il numero $1$ ha un solo divisore, quindi non è primo. Chi sceglie «$9$» dimentica che $9$ è divisibile anche per $3$, oltre che per $1$ e $9$: ha tre divisori, non due. L'affermazione sui numeri pari è falsa: per esempio $4$ è pari ma non primo, perché è divisibile anche per $2$.

6. Il numero $837$ è divisibile per $9$? Quale calcolo lo stabilisce correttamente?

   • A $8+3+7=17$, quindi $837$ non è divisibile per $9$
   • B $8+3+7=18$, e $18$ è divisibile per $9$, quindi anche $837$ lo è
   • C $8·3·7=168$, che non è divisibile per $9$, quindi $837$ non è divisibile per $9$
   • D $8+3+7=18$, ma il criterio richiede che la somma sia esattamente $9$, quindi $837$ non è divisibile per $9$
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   Risposta giusta: B. $8+3+7=18$, e $18$ è divisibile per $9$, quindi anche $837$ lo è

   La somma delle cifre di $837$ è $8+3+7=18$: siccome $18$ è un multiplo di $9$ (perché $18=2·9$), anche $837$ è divisibile per $9$. Chi trova $17$ ha sbagliato l'addizione. Chi moltiplica le cifre invece di sommarle ($168$) sta usando un metodo che non esiste per questo criterio. Chi arriva a $18$ ma pretende che la somma sia esattamente $9$ confonde «essere un multiplo di $9$» con «essere uguale a $9$».

7. Un numero è divisibile sia per $2$ sia per $3$. Per quale altro numero è sicuramente divisibile?

   • A $6$
   • B $5$
   • C $9$
   • D $12$
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   Risposta giusta: A. $6$

   Un numero divisibile sia per $2$ sia per $3$ è sempre divisibile anche per $6$, perché $6=2·3$: è il criterio di divisibilità per $6$. Non è detto che sia divisibile per $5$, che non ha alcun legame con i criteri del $2$ e del $3$. Non è detto nemmeno per $9$: la divisibilità per $3$ non implica quella per $9$. E non è detto per $12$: per esempio $6$ è divisibile sia per $2$ sia per $3$, ma non per $12$.

8. Quale tra questi numeri è primo?

   • A $51$
   • B $87$
   • C $97$
   • D $69$
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   Risposta giusta: C. $97$

   $97$ non è divisibile per $2$ (è dispari), né per $3$ (la somma delle cifre è $9+7=16$, non multipla di $3$), né per $5$ (non termina per $0$ o $5$), né per $7$ (perché $7·13=91$ e $7·14=98$, quindi nessun multiplo di $7$ dà $97$): è primo. $51$ ($5+1=6$), $87$ ($8+7=15$) e $69$ ($6+9=15$) hanno invece la somma delle cifre divisibile per $3$, quindi sono tutti divisibili per $3$ e non sono primi.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.