Numeri composti e loro scomposizione

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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• Aritmetica (PhET, sito esterno): Prova a scomporre più numeri attraverso le coppie di fattori e osserva quali numeri richiedono passaggi successivi.

1. Quale di questi numeri è composto, cioè si può ottenere moltiplicando fra loro dei numeri primi?

   • A $17$
   • B $21$
   • C $23$
   • D $29$
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   Risposta giusta: B. $21$

   $21=3·7$ è composto: si ottiene moltiplicando fra loro numeri primi. $17$, $23$ e $29$ sono primi, quindi non si possono scrivere come prodotto di numeri primi più piccoli di loro.

2. Quale coppia di numeri non è né di primi né di composti?

   • A $2$ e $3$
   • B $4$ e $6$
   • C $0$ e $1$
   • D $9$ e $15$
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   Risposta giusta: C. $0$ e $1$

   $0$ e $1$ restano fuori dalla classificazione dei numeri primi e composti: la definizione vale solo per i numeri maggiori di $1$. Le altre coppie sono già classificate: $2$ e $3$ sono primi, $4=2^2$ e $6=2·3$ sono composti, $9=3^2$ e $15=3·5$ sono composti.

3. Scomponi in fattori primi il numero $56$ e scrivi il risultato con la notazione esponenziale.

   • A $2^3·7$
   • B $2^2·14$
   • C $2^2·7$
   • D $2·3·7$
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   Risposta giusta: A. $2^3·7$

   $56=2·2·2·7=2^3·7$: si divide per $2$ finché possibile ($56:2=28$, $28:2=14$, $14:2=7$), poi resta il fattore primo $7$. Chi risponde $2^2·14$ si è fermato troppo presto: $14$ è ancora composto ($14=2·7$) e va scomposto ulteriormente. Chi risponde $2^2·7$ ha contato solo due divisioni per $2$ invece di tre, perdendo un fattore. Chi risponde $2·3·7$ ha confuso l'esponente $3$ di $2^3$ con un fattore da moltiplicare, come se $2^3$ significasse $2·3$.

4. Scomponi in fattori primi il numero $84$ e scrivi il risultato con la notazione esponenziale.

   • A $2·3·7$
   • B $2^2·3·7$
   • C $2^3·3·7$
   • D $2·2·21$
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   Risposta giusta: B. $2^2·3·7$

   $84=2·2·3·7=2^2·3·7$: si divide per $2$ due volte ($84:2=42$, $42:2=21$), poi per $3$ e per $7$. Chi risponde $2·3·7$ ha dimenticato una delle due divisioni per $2$, ottenendo $42$ invece di $84$. Chi risponde $2^3·3·7$ ha contato una divisione per $2$ di troppo, ottenendo $168$ invece di $84$. Chi risponde $2·2·21$ si è fermato troppo presto: il prodotto torna $84$, ma $21$ è ancora composto ($21=3·7$) e va scomposto ulteriormente.

5. Che numero corrisponde alla scomposizione $2^2·3^2$?

   • A $36$
   • B $18$
   • C $12$
   • D $24$
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   Risposta giusta: A. $36$

   $2^2·3^2=4·9=36$: ogni fattore va elevato al proprio esponente prima di moltiplicare. Chi risponde $18$ ha dimenticato di elevare al quadrato il $2$, calcolando $2·3^2=2·9$. Chi risponde $12$ ha dimenticato di elevare al quadrato il $3$, calcolando $2^2·3=4·3$. Chi risponde $24$ ha letto l'esponente $2$ di $3^2$ come un fattore da moltiplicare invece che come una potenza, calcolando $2^2·3·2=4·3·2$.

6. Marco scompone $60$ e ottiene $2^2·3·5$. Moltiplicando di nuovo i fattori per controllare, che numero deve ottenere se la scomposizione è giusta?

   • A $30$
   • B $20$
   • C $40$
   • D $60$
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   Risposta giusta: D. $60$

   Moltiplicando i fattori si ricontrolla la scomposizione: $2^2·3·5=4·3·5=60$, quindi Marco ha ragione. Chi risponde $30$ ha usato $2·3·5$, dimenticando che il $2$ va contato due volte. Chi risponde $20$ ha calcolato $2^2·5=4·5$, dimenticando il fattore $3$. Chi risponde $40$ ha calcolato $2^3·5=8·5$, aggiungendo un fattore $2$ che nella scomposizione non c'è.

7. Come si scompone in fattori primi il numero $37$?

   • A $5·7$
   • B $3·12$
   • C $37$ è già primo, non si scompone ulteriormente
   • D $1·37$
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   Risposta giusta: C. $37$ è già primo, non si scompone ulteriormente

   $37$ è un numero primo: non si può scrivere come prodotto di due numeri primi più piccoli, quindi resta così com'è. Chi risponde $5·7$ ha calcolato $35$, non $37$: ha forzato una scomposizione che non funziona. Chi risponde $3·12$ ha usato $12$, che è composto, e il prodotto fa $36$, non $37$. Chi risponde $1·37$ ha inserito il fattore $1$, che per definizione non è un numero primo e non compare mai in una scomposizione.

8. Un numero è stato scomposto come $2·2·3·3·3·7$. Qual è la scrittura esponenziale corretta?

   • A $2^2·3^2·7$
   • B $2^3·3^3·7$
   • C $2^2·3^3·7^2$
   • D $2^2·3^3·7$
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   Risposta giusta: D. $2^2·3^3·7$

   Contando quante volte compare ogni fattore primo: il $2$ compare due volte, il $3$ compare tre volte, il $7$ una sola volta, quindi $2·2·3·3·3·7=2^2·3^3·7$. Chi risponde $2^2·3^2·7$ ha contato solo due $3$ invece di tre. Chi risponde $2^3·3^3·7$ ha contato tre $2$ invece di due. Chi risponde $2^2·3^3·7^2$ ha messo l'esponente $2$ anche al $7$, che invece compare una sola volta e va scritto senza esponente.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.