Massimo comune divisore

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di due numeri è...

   • A il più grande divisore che i due numeri hanno in comune
   • B il più piccolo multiplo che i due numeri hanno in comune
   • C la somma di tutti i divisori comuni ai due numeri
   • D il numero di divisori che i due numeri hanno in comune
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   Risposta giusta: A. il più grande divisore che i due numeri hanno in comune

   Il M.C.D. è per definizione il più grande dei divisori comuni: tra 24 e 36, ad esempio, si sceglie 12 e non lo si somma né lo si conta. Chi risponde 'il più piccolo multiplo comune' sta descrivendo il m.c.m., non il M.C.D.: sono due operazioni diverse, una sui divisori e una sui multipli.

2. Quali sono i divisori comuni di 12 e 18?

   • A 1, 2, 3, 4, 6
   • B 1, 2, 3, 6, 9
   • C 1, 2, 3, 6
   • D 2, 3, 6
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   Risposta giusta: C. 1, 2, 3, 6

   I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18: quelli comuni a entrambi sono 1, 2, 3, 6. Chi risponde 1, 2, 3, 4, 6 ha incluso il 4, che divide 12 ma non 18 ($18:4$ non è esatto). Chi risponde 1, 2, 3, 6, 9 ha incluso il 9, che divide 18 ma non 12. Chi risponde 2, 3, 6 ha dimenticato che 1 è sempre un divisore comune.

3. Qual è il M.C.D. di 16 e 24?

   • A $4$
   • B $8$
   • C $16$
   • D $48$
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   Risposta giusta: B. $8$

   I divisori comuni di 16 e 24 sono 1, 2, 4, 8: il più grande è $8$. Chi risponde $4$ si è fermato a un divisore comune senza controllare se ce ne fosse uno più grande. Chi risponde $16$ ha scelto un divisore di 16 che però non divide 24 ($24:16$ non è esatto). Chi risponde $48$ ha calcolato il minimo comune multiplo, non il massimo comune divisore.

4. Qual è il M.C.D. di 15 e 28?

   • A $1$
   • B $7$
   • C $15$
   • D $420$
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   Risposta giusta: A. $1$

   I divisori di 15 sono 1, 3, 5, 15; quelli di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, 28: l'unico in comune è $1$, quindi i due numeri sono primi tra loro. Chi risponde $7$ ha preso un divisore di 28 senza controllare che non divide 15 ($15:7$ non è esatto). Chi risponde $15$ ha pensato che il numero più piccolo divida sempre anche l'altro, cosa qui falsa. Chi risponde $420$ ha calcolato il prodotto dei due numeri (che qui coincide con il m.c.m.), non il M.C.D.

5. Qual è il M.C.D. di 18, 24 e 40?

   • A $6$
   • B $8$
   • C $360$
   • D $2$
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   Risposta giusta: D. $2$

   I divisori comuni a tutti e tre i numeri sono solo 1 e $2$, quindi il M.C.D. vale $2$. Chi risponde $6$ ha confrontato solo 18 e 24, dimenticando 40 (6 non divide 40 esattamente). Chi risponde $8$ ha confrontato solo 24 e 40, dimenticando 18 (8 non divide 18). Chi risponde $360$ ha calcolato il minimo comune multiplo dei tre numeri, non il massimo comune divisore.

6. Un fioraio ha 36 rose e 60 tulipani e vuole fare il maggior numero possibile di mazzi tutti uguali, usando tutti i fiori. Quanti mazzi può fare al massimo?

   • A $6$
   • B $4$
   • C $8$
   • D $12$
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   Risposta giusta: D. $12$

   I divisori comuni di 36 e 60 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12: il più grande è $12$, quindi il fioraio può fare al massimo 12 mazzi uguali. Chi risponde $6$ o $4$ si è fermato su un divisore comune senza verificare che ce ne fosse uno più grande. Chi risponde $8$ ha contato quanti fiori entrano in ogni mazzo ($3$ rose più $5$ tulipani) invece di quanti mazzi si possono fare.

7. Marco calcola il M.C.D. di 28 e 42 e si ferma al primo divisore comune trovato dopo l'1, cioè $2$. Qual è invece il valore corretto?

   • A $2$
   • B $14$
   • C $7$
   • D $28$
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   Risposta giusta: B. $14$

   I divisori comuni di 28 e 42 sono 1, 2, 7, 14: il più grande è $14$. Chi risponde $2$ si è fermato al primo divisore comune trovato dopo l'1, proprio come Marco, senza controllare se ce ne fossero altri più grandi. Chi risponde $7$ ha trovato un altro divisore comune ma non il più grande. Chi risponde $28$ ha preso un divisore di 28 che non divide 42 ($42:28$ non è esatto).

8. Una stanza rettangolare misura 84 cm per 120 cm e va ricoperta con piastrelle quadrate tutte uguali, senza tagli. Quanto può misurare al massimo il lato di ogni piastrella?

   • A $6$ cm
   • B $4$ cm
   • C $12$ cm
   • D $24$ cm
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   Risposta giusta: C. $12$ cm

   I divisori comuni di 84 e 120 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12: il lato più grande possibile è $12$ cm. Chi risponde $6$ cm o $4$ cm ha trovato un divisore comune ma non il più grande. Chi risponde $24$ cm ha guardato un lato solo: $24$ divide $120$, ma non $84$, quindi su quel lato resterebbero tagli.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.