M.C.D. con la scomposizione in fattori primi

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1. Come si calcola il M.C.D. di due numeri usando la scomposizione in fattori primi?

   • A Si sommano tutti i fattori primi comuni ai due numeri
   • B Si moltiplicano tutti i fattori primi dei due numeri, comuni e non, ciascuno con l'esponente più alto
   • C Si moltiplicano i fattori primi comuni, ciascuno con l'esponente più alto trovato nelle due scomposizioni
   • D Si moltiplicano i fattori primi comuni ai due numeri, ciascuno con l'esponente più basso
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   Risposta giusta: D. Si moltiplicano i fattori primi comuni ai due numeri, ciascuno con l'esponente più basso

   Il M.C.D. si ottiene moltiplicando i fattori primi comuni ai due numeri, ciascuno con l'esponente più basso. Moltiplicare tutti i fattori, comuni e non, con l'esponente più alto è invece il procedimento del m.c.m.; prendere solo i comuni ma con l'esponente più alto è un errore di esponente; sommare i fattori invece di moltiplicarli non produce il M.C.D. di nessuno dei due numeri.

2. Scomponendo $60=2^2·3·5$ e $84=2^2·3·7$, quali sono i fattori primi comuni ai due numeri?

   • A $2$ e $3$
   • B $2$, $3$ e $5$
   • C $2$, $3$ e $7$
   • D $5$ e $7$
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   Risposta giusta: A. $2$ e $3$

   $2$ e $3$ compaiono in entrambe le scomposizioni, mentre $5$ è presente solo in $60$ e $7$ solo in $84$: sono loro i fattori comuni. Chi include anche $5$ lo tratta come comune quando appartiene solo a $60$; chi include $7$ commette lo stesso errore con $84$; chi risponde $5$ e $7$ ha scambiato i fattori comuni con quelli non comuni.

3. Scomponendo $48=2^4·3$ e $60=2^2·3·5$, qual è il loro M.C.D.?

   • A $6$
   • B $12$
   • C $240$
   • D $7$
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   Risposta giusta: B. $12$

   I fattori comuni sono $2$ (esponente più basso $2$) e $3$: $2^2·3=12$. Chi risponde $6$ ha preso $2^1$ invece di $2^2$, l'esponente più basso è $2$, non $1$; chi risponde $240$ ha calcolato il m.c.m., moltiplicando tutti i fattori con l'esponente più alto ($2^4·3·5$); chi risponde $7$ ha sommato $2^2=4$ e $3$ invece di moltiplicarli.

4. Scomponendo $90=2·3^2·5$ e $126=2·3^2·7$, qual è il loro M.C.D.?

   • A $9$
   • B $18$
   • C $630$
   • D $2$
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   Risposta giusta: B. $18$

   I fattori comuni sono $2$ e $3^2$: $2·3^2=18$. Chi risponde $9$ ha preso solo $3^2$, dimenticando il fattore $2$; chi risponde $630$ ha moltiplicato tutti i fattori delle due scomposizioni, comuni e non; chi risponde $2$ ha preso solo il fattore $2$, dimenticando $3^2$.

5. Dati $24=2^3·3$, $36=2^2·3^2$ e $90=2·3^2·5$, qual è il M.C.D. dei tre numeri?

   • A $12$
   • B $18$
   • C $72$
   • D $6$
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   Risposta giusta: D. $6$

   Il fattore $2$ ha esponente minimo $1$ (in $90$) e il fattore $3$ ha esponente minimo $1$ (in $24$): $2·3=6$. Chi risponde $12$ ha calcolato il M.C.D. solo di $24$ e $36$, dimenticando $90$; chi risponde $18$ ha calcolato il M.C.D. solo di $36$ e $90$, dimenticando $24$; chi risponde $72$ ha preso l'esponente più alto invece del più basso per entrambi i fattori ($2^3·3^2$).

6. Scomponendo $40=2^3·5$ e $75=3·5^2$, qual è il loro M.C.D.?

   • A $5$
   • B $600$
   • C $15$
   • D $25$
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   Risposta giusta: A. $5$

   L'unico fattore primo comune a $40$ e $75$ è $5$, con esponente minimo $1$: il M.C.D. è $5$. Chi risponde $600$ ha calcolato il m.c.m., moltiplicando tutti i fattori con l'esponente più alto; chi risponde $15$ ha moltiplicato $5$ per $3$, ma $3$ compare solo in $75$, non è comune; chi risponde $25$ ha preso $5^2$ invece di $5^1$, l'esponente più alto invece del più basso.

7. Dati $A=2^3·5^2·7$ e $B=2^2·5^3·11$, qual è il loro M.C.D.?

   • A $\mathrm{1 000}$
   • B $700$
   • C $100$
   • D $20$
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   Risposta giusta: C. $100$

   I fattori comuni sono $2$ (esponente minimo $2$) e $5$ (esponente minimo $2$): $2^2·5^2=100$. Chi risponde $\mathrm{1 000}$ ha preso gli esponenti più alti invece dei più bassi; chi risponde $700$ ha incluso il fattore $7$, presente solo in $A$; chi risponde $20$ ha preso $5$ con esponente $1$ invece di $2$.

8. Vuoi dividere $84$ penne e $126$ matite in scatole tutte uguali, con lo stesso numero di penne e lo stesso numero di matite in ognuna, senza avanzi. Qual è il numero massimo di scatole?

   • A $21$
   • B $252$
   • C $42$
   • D $6$
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   Risposta giusta: C. $42$

   Il numero massimo di scatole è il M.C.D. di $84$ e $126$: scomponendo, $84=2^2·3·7$ e $126=2·3^2·7$, i fattori comuni con l'esponente più basso sono $2$, $3$ e $7$, quindi $2·3·7=42$. Chi risponde $21$ ha dimenticato il fattore $2$; chi risponde $252$ ha calcolato il m.c.m. (tutti i fattori con l'esponente più alto); chi risponde $6$ ha moltiplicato solo $2$ e $3$, dimenticando $7$.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.