Minimo comune multiplo

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1. Che cos'è il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due numeri?

   • A il più grande dei loro divisori comuni
   • B il prodotto dei due numeri
   • C il più piccolo dei loro divisori comuni
   • D il più piccolo, diverso da zero, dei loro multipli comuni
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   Risposta giusta: D. il più piccolo, diverso da zero, dei loro multipli comuni

   La definizione corretta è il più piccolo, diverso da zero, dei multipli comuni: per esempio il m.c.m. di $4$ e $6$ è $12$. Chi sceglie «il più grande dei divisori comuni» sta descrivendo il M.C.D., non il m.c.m.: sono operazioni opposte, una sui divisori e una sui multipli. Chi sceglie «il prodotto dei due numeri» applica una scorciatoia che funziona solo quando i due numeri non hanno fattori in comune. Chi sceglie «il più piccolo dei divisori comuni» confonde multiplo con divisore: il più piccolo divisore comune di due numeri qualsiasi è sempre $1$.

2. Qual è il minimo comune multiplo di $3$ e $4$?

   • A $12$
   • B $24$
   • C $7$
   • D $1$
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   Risposta giusta: A. $12$

   Il m.c.m. di $3$ e $4$ è $12$: è il primo numero che compare sia nei multipli di $3$ (3, 6, 9, 12...) sia nei multipli di $4$ (4, 8, 12...). Chi risponde $24$ ha trovato un multiplo comune, ma non il più piccolo: è il secondo, non il primo. Chi risponde $7$ ha sommato $3+4=7$ invece di elencare i multipli. Chi risponde $1$ ha calcolato il M.C.D. (i due numeri non hanno fattori comuni) invece del m.c.m.

3. Qual è il minimo comune multiplo di $5$ e $15$?

   • A $5$
   • B $75$
   • C $15$
   • D $20$
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   Risposta giusta: C. $15$

   Il m.c.m. di $5$ e $15$ è $15$ stesso, perché $15$ è già un multiplo di $5$: $5·3=15$. Chi risponde $5$ ha calcolato il M.C.D. invece del m.c.m. Chi risponde $75$ ha moltiplicato $5·15=75$ senza accorgersi che $15$ è già multiplo di $5$. Chi risponde $20$ ha sommato $5+15=20$ invece di riconoscere la relazione tra i due numeri.

4. Due autobus passano dalla stessa fermata: uno ogni $8$ minuti, l'altro ogni $12$. Se partono insieme, dopo quanti minuti passeranno di nuovo insieme?

   • A $96$
   • B $24$
   • C $20$
   • D $12$
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   Risposta giusta: B. $24$

   Il m.c.m. di $8$ e $12$ è $24$: nella tabellina dell'$8$ (8, 16, 24...) e in quella del $12$ (12, 24...) il primo numero comune è $24$. Chi risponde $96$ ha moltiplicato $8·12=96$ senza semplificare, ma $8$ e $12$ hanno il fattore $4$ in comune. Chi risponde $20$ ha sommato $8+12=20$. Chi risponde $12$ ha preso solo il numero più grande dei due, ma $12$ non è un multiplo di $8$.

5. Qual è il minimo comune multiplo di $6$ e $9$?

   • A $3$
   • B $54$
   • C $15$
   • D $18$
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   Risposta giusta: D. $18$

   Il m.c.m. di $6$ e $9$ è $18$, non $3$: $3$ è il loro M.C.D. (il più grande divisore comune), un'operazione diversa dal m.c.m. (il più piccolo multiplo comune). Chi risponde $54$ ha moltiplicato $6·9=54$ senza togliere il fattore $3$ che i due numeri hanno in comune. Chi risponde $15$ ha sommato $6+9=15$ invece di elencare i multipli.

6. Tre luci di un pannello decorativo lampeggiano una ogni $4$ secondi, una ogni $6$ e una ogni $9$. Se lampeggiano insieme una volta, dopo quanti secondi si accenderanno di nuovo insieme?

   • A $19$
   • B $36$
   • C $216$
   • D $9$
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   Risposta giusta: B. $36$

   Il m.c.m. di $4$, $6$ e $9$ è $36$: è il primo numero che compare nei multipli di tutti e tre. Chi risponde $19$ ha sommato $4+6+9=19$ invece di cercare i multipli comuni. Chi risponde $216$ ha moltiplicato $4·6·9=216$ senza semplificare i fattori comuni. Chi risponde $9$ ha preso solo il numero più grande pensando bastasse quello, ma $9$ non è un multiplo né di $4$ né di $6$.

7. $24$ è un multiplo di $8$. Qual è il minimo comune multiplo di $8$ e $24$?

   • A $24$
   • B $8$
   • C $192$
   • D $16$
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   Risposta giusta: A. $24$

   Il m.c.m. di $8$ e $24$ è $24$, perché $24$ è già un multiplo di $8$: $8·3=24$. Quando un numero è multiplo dell'altro, il m.c.m. coincide sempre con il maggiore. Chi risponde $8$ ha calcolato il M.C.D. invece del m.c.m. Chi risponde $192$ ha moltiplicato $8·24=192$ senza accorgersi della relazione. Chi risponde $16$ ha sottratto $24-8=16$ invece di riconoscere che $24$ è già multiplo di $8$.

8. Qual è il minimo comune multiplo di $10$ e $15$?

   • A $5$
   • B $150$
   • C $30$
   • D $25$
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   Risposta giusta: C. $30$

   Il m.c.m. di $10$ e $15$ è $30$: è il primo numero comune tra i multipli di $10$ (10, 20, 30...) e quelli di $15$ (15, 30...). Chi risponde $5$ ha calcolato il M.C.D. invece del m.c.m. Chi risponde $150$ ha moltiplicato $10·15=150$ senza semplificare il fattore $5$ in comune. Chi risponde $25$ ha sommato $10+15=25$ invece di elencare i multipli.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.