m.c.m. con la scomposizione in fattori primi

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Per trovare il m.c.m. di due numeri con la scomposizione in fattori primi, quali fattori bisogna considerare?

   • A Tutti i fattori primi che compaiono nelle due scomposizioni, anche in un solo numero
   • B Solo i fattori primi comuni a entrambi i numeri
   • C Solo il fattore primo più piccolo tra i due numeri
   • D Solo i fattori primi che hanno esponente 1
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   Risposta giusta: A. Tutti i fattori primi che compaiono nelle due scomposizioni, anche in un solo numero

   Il m.c.m. si calcola con tutti i fattori primi che compaiono nelle scomposizioni, anche quelli presenti in un solo numero: è la regola opposta a quella del M.C.D., che invece prende solo i fattori comuni. Chi risponde «solo i comuni» sta applicando per sbaglio il procedimento del M.C.D.

2. Quando lo stesso fattore primo compare nelle scomposizioni di due numeri con esponenti diversi, quale esponente si usa per calcolare il m.c.m.?

   • A il più basso dei due
   • B la somma dei due esponenti
   • C il più alto dei due
   • D la differenza tra i due esponenti
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   Risposta giusta: C. il più alto dei due

   Per il m.c.m. si prende sempre l'esponente più alto tra quelli trovati nelle scomposizioni, così il risultato resta multiplo di entrambi i numeri. Chi sceglie l'esponente più basso sta applicando la regola del M.C.D.; sommare o sottrarre gli esponenti non corrisponde a nessuna regola valida.

3. Per applicare il metodo della scomposizione al calcolo del m.c.m., qual è il primo passo?

   • A Confrontare direttamente i due numeri senza scomporli
   • B Calcolare la somma dei due numeri
   • C Scegliere il numero più piccolo dei due
   • D Scomporre ciascun numero nei suoi fattori primi
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   Risposta giusta: D. Scomporre ciascun numero nei suoi fattori primi

   Il metodo parte sempre dalla scomposizione in fattori primi di ciascun numero: solo dopo si possono confrontare gli esponenti e scegliere quelli più alti. Confrontare i numeri senza scomporli, sommarli o scegliere il più piccolo non fa parte del procedimento.

4. Scomponendo in fattori primi si trova $8=2^3$ e $12=2^2·3$. Quanto vale il m.c.m. di $8$ e $12$?

   • A $4$
   • B $96$
   • C $24$
   • D $20$
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   Risposta giusta: C. $24$

   Il m.c.m. prende ogni fattore con l'esponente più alto: $2^3·3=24$. Chi risponde $4$ ha calcolato il M.C.D. prendendo il fattore comune $2$ con l'esponente più basso ($2^2$); chi risponde $96$ ha moltiplicato $8·12$ senza togliere il fattore $2$ ripetuto in entrambe le scomposizioni; chi risponde $20$ ha semplicemente sommato $8+12$ invece di applicare la scomposizione.

5. Scomponendo si trova $6=2·3$ e $35=5·7$: questi due numeri non hanno nessun fattore primo in comune. Quanto vale il loro m.c.m.?

   • A $210$
   • B $41$
   • C $1$
   • D $29$
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   Risposta giusta: A. $210$

   Quando due numeri non hanno fattori primi in comune, il m.c.m. è il loro prodotto perché servono tutti i fattori di entrambi: $6·35=210$. Chi risponde $41$ ha sommato i due numeri invece di moltiplicarli; chi risponde $1$ ha confuso il m.c.m. con il M.C.D., che qui vale davvero $1$ perché i numeri sono primi tra loro, ma il m.c.m. è un calcolo diverso; chi risponde $29$ ha calcolato la differenza $35-6$.

6. Le scomposizioni di $15$ e $18$ sono $15=3·5$ e $18=2·3^2$. Quanto vale il m.c.m. di $15$ e $18$?

   • A $3$
   • B $90$
   • C $270$
   • D $33$
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   Risposta giusta: B. $90$

   Il m.c.m. si trova con ogni fattore primo all'esponente più alto: $2·3^2·5=90$. Chi risponde $3$ ha calcolato il M.C.D., cioè il solo fattore comune $3$ con l'esponente più basso; chi risponde $270$ ha moltiplicato $15·18$ senza togliere il fattore $3$ ripetuto in entrambe le scomposizioni; chi risponde $33$ ha sommato $15+18$ invece di scomporre e moltiplicare.

7. Scomponendo in fattori primi si trova $20=2^2·5$ e $30=2·3·5$. Quanto vale il m.c.m. di $20$ e $30$?

   • A $10$
   • B $30$
   • C $600$
   • D $60$
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   Risposta giusta: D. $60$

   Il m.c.m. si ottiene con ogni fattore primo all'esponente più alto: $2^2·3·5=60$. Chi risponde $10$ ha calcolato il M.C.D. usando solo il fattore comune con l'esponente più basso ($2·5$); chi risponde $30$ ha scelto semplicemente il numero più grande dei due; chi risponde $600$ ha moltiplicato $20·30$ senza eliminare i fattori comuni ripetuti in entrambe le scomposizioni.

8. Scomponendo in fattori primi si trova $4=2^2$, $6=2·3$ e $10=2·5$. Quanto vale il m.c.m. di $4$, $6$ e $10$?

   • A $20$
   • B $60$
   • C $12$
   • D $240$
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   Risposta giusta: B. $60$

   Il m.c.m. richiede ogni fattore primo con l'esponente più alto tra tutte le scomposizioni: $2^2·3·5=60$. Chi risponde $20$ ha dimenticato il fattore $3$, presente solo nella scomposizione di $6$; chi risponde $12$ ha dimenticato il fattore $5$, presente solo nella scomposizione di $10$; chi risponde $240$ ha moltiplicato $4·6·10$ senza eliminare i fattori $2$ ripetuti in tutte e tre le scomposizioni.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Divisibilità: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: multipli e divisori, criteri di divisibilità, numeri primi e scomposizione, M.C.D., m.c.m. e problemi.