Matematica · 1ª media · Lezione 1 di 10

Frazioni con i modelli

Leggere una frazione su una figura o un segmento, confrontare le unità frazionarie e capire perché le parti devono essere uguali.

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Teoria in pillole

Per rappresentare una frazione si sceglie un intero, lo si divide in parti tutte uguali e se ne considerano alcune. Il denominatore indica il numero totale delle parti uguali; il numeratore indica quante parti vengono prese.

Rappresentazione corretta

$\frac{3}{4}$

l'intero è diviso in quattro parti uguali e tre sono colorate

Unità frazionaria

$\frac{1}{4}$

una sola delle quattro parti uguali; quattro unità frazionarie ricompongono l'intero

Frazioni come $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{4}$ , con numeratore $1$ , si chiamano unità frazionarie.
Se l'intero è lo stesso, più grande è il denominatore, più piccola è l'unità frazionaria: $\frac{1}{2}$ è maggiore di $\frac{1}{3}$ .
Due frazioni sono complementari se, riferite allo stesso intero, insieme lo ricompongono: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .
La stessa frazione può essere rappresentata con forme diverse, purché l'intero e l'uguaglianza delle parti siano riconoscibili.

Contare i pezzi non basta. Se hanno grandezze diverse, tre pezzi colorati su quattro non rappresentano $\frac{3}{4}$ . Prima controlla sempre che le parti siano uguali.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Costruisci una frazione (PhET, sito esterno): Prova a costruire la frazione richiesta scegliendo forme e numero di parti e osserva come rappresentazioni diverse descrivono la stessa quantità.
Frazioni: Introduzione (PhET, sito esterno): Prova a dividere una figura in parti uguali e selezionarne alcune e osserva come numeratore e denominatore raccontano il modello costruito.

Domande

Che cosa indica il denominatore di una frazione?
- A Quante parti dell'intero sono state prese
- B In quante parti uguali è diviso l'intero
- C Quante frazioni equivalenti puoi scrivere
- D La somma tra numeratore e denominatore
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Risposta giusta: B. In quante parti uguali è diviso l'intero
Il denominatore dice in quante parti uguali è diviso l'intero: è il numero sotto la linea di frazione. Chi risponde «quante parti sono state prese» ha scambiato il denominatore con il numeratore, l'errore più comune quando si legge una frazione.
Un cerchio è diviso in 8 spicchi tutti uguali. Ne sono colorati 5. Quale frazione rappresenta la parte colorata?
- A $\frac{8}{5}$
- B $\frac{3}{8}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{5}{8}$
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Risposta giusta: D. $\frac{5}{8}$
Le parti colorate sono 5 su un totale di 8 spicchi uguali, quindi il denominatore è 8 e il numeratore è 5: $\frac{5}{8}$ . Chi risponde $\frac{3}{8}$ ha contato gli spicchi non colorati invece di quelli colorati, calcolando la frazione complementare invece di quella richiesta.
Un segmento è diviso in 6 parti tutte uguali. Ne prendi 4, contando dall'inizio. Quale frazione del segmento hai preso?
- A $\frac{4}{6}$
- B $\frac{6}{4}$
- C $\frac{2}{6}$
- D $\frac{2}{4}$
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Risposta giusta: A. $\frac{4}{6}$
Il segmento è diviso in 6 parti uguali e ne hai prese 4, quindi la frazione è $\frac{4}{6}$ : il totale delle parti sta sempre al denominatore. Chi risponde $\frac{2}{6}$ ha contato le parti che restano invece di quelle prese, cioè la parte complementare.
Devi rappresentare la frazione $\frac{3}{5}$ colorando un rettangolo diviso in 5 parti uguali. Quante parti colori?
- A $5$
- B $8$
- C $3$
- D $2$
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Risposta giusta: C. $3$
Il numeratore $3$ dice quante parti colorare su un totale di 5, quindi ne colori 3. Sommare $3 + 5 = 8$ non ha senso in questo caso: il denominatore serve solo a dire in quante parti dividere il rettangolo, non va sommato al numeratore.
Quale, tra queste unità frazionarie, è la più piccola?
- A $\frac{1}{3}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{1}{5}$
- D $\frac{1}{8}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{8}$
Più è grande il denominatore, più piccola è la parte: fra $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{5}$ e $\frac{1}{8}$ il denominatore più grande è 8, quindi $\frac{1}{8}$ è la più piccola. Chi risponde $\frac{1}{2}$ ha ragionato al contrario, pensando che il denominatore più grande dia la parte più grande.
Una frazione occupa $\frac{2}{7}$ di un rettangolo. Quale frazione occupa il resto del rettangolo?
- A $\frac{2}{7}$
- B $\frac{5}{7}$
- C $\frac{7}{2}$
- D $\frac{5}{9}$
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Risposta giusta: B. $\frac{5}{7}$
Il rettangolo intero corrisponde a $\frac{7}{7}$ : togliendo la parte già occupata resta $\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ . Chi risponde $\frac{5}{9}$ ha sommato i due denominatori invece di lasciarlo invariato: nello stesso intero il denominatore non cambia.
Alessio divide una barretta di cioccolato in 5 pezzi tutti uguali e ne mangia 2. Quale frazione della barretta ha mangiato?
- A $\frac{5}{2}$
- B $\frac{3}{5}$
- C $\frac{2}{5}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: C. $\frac{2}{5}$
I pezzi totali sono 5 e quelli mangiati 2, quindi la frazione è $\frac{2}{5}$ . Chi risponde $\frac{3}{5}$ ha contato i pezzi rimasti nella barretta invece di quelli mangiati, calcolando la frazione complementare invece di quella richiesta.
Un cerchio è diviso in 4 parti: due piccole e due grandi. Una delle parti piccole è colorata. Che cosa puoi concludere?
- A Quella figura non rappresenta nessuna frazione, perché le 4 parti non sono uguali.
- B La parte colorata è $\frac{1}{4}$ del cerchio, perché su 4 parti ne è colorata 1.
- C La parte colorata è $\frac{1}{2}$ del cerchio, perché le parti piccole sono 2.
- D La parte colorata è $\frac{3}{4}$ del cerchio, perché restano 3 parti non colorate.
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Risposta giusta: A. Quella figura non rappresenta nessuna frazione, perché le 4 parti non sono uguali.
Le quattro parti del cerchio non sono uguali fra loro, quindi la figura non rappresenta nessuna frazione: il denominatore ha senso solo se tutte le parti hanno la stessa dimensione. Chi risponde $\frac{1}{4}$ ha contato le parti senza controllare che fossero uguali, l'errore più frequente in questo tipo di esercizio.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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